Кафедра высшей математики физического факультета НГУ
  Физический факультет НГУ  |  Кафедры и лаборатории  |  Кафедра высшей математики
 
 Содержание раздела:
Основные сведения о кафедре
Список преподавателей
Программы курсов
Учебно-методические материалы
Конспекты лекций и семинаров
Материалы к экзамену
Научные публикации
История создания кафедры
Фотоальбом

 

 

Основы математического анализа

Осенний семестр
(на данной странице выложены файлы с высоким разрешением, для быстрого скачивания рекомендуем использовать файлы, выложенные на сайте Г.В. Дятлова)
Лекция 1:

Часть 1. Организационные вопросы. Общий план лекций.
Часть 2. Общематематические понятия. Логическая символика. Кванторы. Высказывания (начало).

Лекция 2:

Часть 1. Высказывания (продолжение). Вещественные числа.
Часть 2. Аксиома полноты. Принцип вложенных отрезков. Точные границы. Наибольший элемент. Существование точных границ.

Лекция 3:

Часть 1. Расширенная числовая прямая. Критерий точной верхней границы.
Часть 2. Предел последовательности. Сходящиеся последовательности. Последовательности, стремящиеся к бесконечности. Предел и неравенства.

Лекция 4:

Часть 1. Теорема о зажатой последовательности. Предел и ограниченность. Предел и арифметические операции (начало).
Часть 2. Предел и арифметические операции (продолжение). Подпоследовательности и частичные пределы. Теорема о пределе подпоследовательности. Теорема Больцано - Вейерштрасса (начало)

Лекция 5:

Часть 1. Теорема Больцано - Вейерштрасса (продолжение). Теорема Вейерщтрасса о монотонной последовательности.
Часть 2. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

Лекция 6:

Часть 1. Фундаментальные последовательности. Пример последовательности, которая расходится. Предельные точки. Определение предела функции (начало). 
Часть 2. Определение предела функции (продолжение). Точка сгущения. Определение предела в точке сгущения. Примеры.

Лекция 7:

Часть 1 Окрестности и проколотые окрестности. Определение предельной точки и предела на языке окрестностей. Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши. Предельный переход в неравенстве. Предел и алгебраические операции. Критерий Коши (начало).
Часть 2. Критерий Коши (продолжение). Предел композиции. Элементарные функции. Существование предела последовательности (1+x/n)^n (начало).

Лекция 8:

Часть 1. Существование предела последовательности (1+x/n)^n (продолжение). Показательная функция и ее свойства. Число e. Натуральный логарифм.
Часть 2. Свойства натурального логарифма. Степенная функция и ее свойства. Замечательные пределы.

Лекция 9:

Часть 1. Сравнения о-малое и О-большое. Преобразование выражений с о-малыми и О-большими. Сравнение степенной, показательной и логарифмической функций (начало).
Часть 2. Сравнение степенной, показательной и логарифмической функций (продолжение). Главная часть функции. Определение непрерывной функции.

Лекция 10:

Часть 1. Классификация разрывов. Непрерывность суммы, разности, произведения, отношения, композиции. Определение непрерывной функции на множестве. Теорема Больцано - Коши о промежуточных значениях.
Часть 2. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях. Определение производной функции. Физический и геометрический смысл производной.

Лекция 11:

Часть 1. Определение дифференциала. Геометрическая интерпретация дифференциала. Связь производной и дифференциала.
Часть 2. Дифференцирование и алгебраические операции. Производная композиции.

Лекция 12: Часть 1. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Локальный экстремум. Определение внутренней точки. Теорема Ферма о необходимых условиях экстремума.
Часть 2. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечном приращении. Теорема Коши о конечном приращении. Определение старших производных. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа (начало).
Лекция 13: Часть 1. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа (продолжение). Формула Тейлора с остатком в форме Пеано
Часть 2. Формула Тейлора и ряд Тейлора. Примеры.
Лекция 14: Часть 1. Формула Тейлора для основных элементарных функций. Достаточное условие локального экстремума (начало).
Часть 2. Достаточное условие локального экстремума (продолжение). Критерий монотонности. Выпуклые функции.
Лекция 15: Часть 1. Критерий выпуклости. Примеры.
Часть 2. Асимптоты. Правила Бернулли - Лопиталя.
Лекция 16: Часть 1. Первообразная. Теорема о множестве первообразных. Теорема о линейности первообразной. Интегрирование по частям для первообразной. Замена и подстановка для первообразной (начало).
Часть 2. Замена и подстановка для первообразной (продолжение). Примеры. Определение рациональной функции. Первообразная рациональной функции (начало).
Лекция 17: Часть 1. Первообразная рациональной функции (продолжение). Примеры и приложения.
Часть 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (начало).
Лекция 18: Часть 1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (продолжение). Примеры.
Часть 2. Определение разбиения. Определение интеграла Римана. Геометрическая интерпретация интеграла. Суммы Дарбу. Критерий Дарбу. Необходимое условие интегрируемости. Линейность и аддитивность интеграла. Интегрируемость непрерывной и монотонной функции. 
Лекция 19: Часть 1. Монотонность интеграла. Первая теорема о среднем. Связь интеграла и первообразной.
Часть 2. Формула Ньютона - Лейбница. Формула Тейлора с интегральным остаточным членом. Определение несобственного интеграла для бесконечной и конечной точки.
Лекция 20: Часть 1. Определение абсолютной и условной сходимости. Критерий Коши для несобственного интеграла. Теореме о сходимости абсолютно сходящегося интеграла. Теорема об интегрировании основных особенностей. Мажорантный признак и теорема сравнения (начало).
Часть 2. Мажорантный признак и теорема сравнения (продолжение). Признаки Абеля и Дирихле (начало).
Лекция 21: Часть 1. Признаки Абеля и Дирихле (продолжение). Примеры.
Часть 2. Сходимость в смысле главного значения. Определение Г-функции и В-функции и их основные свойства (начало).
Лекция 22: Часть 1. Основные свойства Г-функции и В-функции (продолжение). Интеграл Эйлера - Пуассона. Приложения интеграла. Площадь подграфика. 
Часть 2. Приложения интеграла (продолжение). Объем тел вращения.
Лекция 23: Часть 1. Длина кривой. Длина графика функции.
Часть 2. Числовые ряды. Определение ряда, частичных сумм, сходимости ряда. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Мажорантный признак и теорема сравнения для рядов.
Лекция 24: Часть 1. Интегральный признак сходимости. Сходимость эталонных рядов. Гармонический ряд. Признак Коши сходимости ряда. 
Часть 2. Признак Даламбера сходимости ряда. Примеры. Признаки Абеля и Дирихле (начало).
Лекция 25: Часть 1. Признаки Абеля и Дирихле (продолжение). Признак Лейбница. Пример. Определение пространства Rn. Определение метрики и метрического пространства.
Часть 2. Определение нормы и нормированного пространства. Основные нормы и метрики. Теорема о сравнении основных норм. Открытые и замкнутые шары.
Лекция 26: Часть 1. Геометрический смысл аксиом нормы. Теорема об эквивалентности норм. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского. Предел последовательности в Rn.
Часть 2. Определение внутренней, внешней, граничной и предельной точки. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Примеры.
Лекция 27: Часть 1. Определение ограниченного и компактного множества. Определение связного множества и области. Примеры. Определение линейного отображения. Примеры.
Часть 2. Матрица линейного отображения. Примеры. Отображения из Rn в Rn. Примеры.
Лекция 28: Часть 1. Определение дифференциала. Определение частной производной и матрицы Якоби. Теорема  о связи дифференциала и частных производных.
Часть 2. Пример недифференцируемой функции с частными производными. Теорема о дифференцировании и алгебраических операциях.
Лекция 29: Часть 1. Теорема о дифференцировании композиции. Цепное правило. Производная по вектору, градиент.
Часть 2. Определение старших производных. Перестановочность частных производных. Определение пространства Сk(Ω).
Лекция 30: Часть 1. Формула Тейлора. Определение второго дифференциала и матрицы Гессе. Определение градиента. Геометрический смысл градиента.
Часть 2. Определение локального экстремума. Определение критической точки. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Квадратичные формы в R2.
Лекция 31: Часть 1. Квадратичные формы (продолжение). Метод наименьших квадратов.
Часть 2. Метод наименьших квадратов (продолжение). Ответы на вопросы.
  Copyright: © 2017 Кафедра высшей математики ФФ НГУ