|
Попытаемся, по аналогии с электростатическим полем ввести скалярный магнитный
потенциал ψ
так, что
B→ = −∇ψ .
Если подставить это представление магнитного поля в уравнение
rot∇ψ = −4π
c j→.
то выяснится, что оно может иметь смысл только в той области пространства,
где j→ = 0, так
как rot∇ψ ≡ 0.
В этой связи говорят, что магнитное поле является безвихревым,
т.е. потенциальным там, где нет токов; поэтому использование скалярного
потенциала для описания магнитного поля весьма ограничено.
Вспомним, что введение потенциала для описания электростатического
поля стало возможным вследствие того, что использование
трех скалярных функций (по одной на каждую компоненту
E→)
для описания электростатического поля избыточно: достаточно
только одной функции — электрического потенциала
ϕ. Мы
отмечали в параграфе 35, что аналогичная избыточность имеется и в случае
магнитостатического поля и что ее устраняет второе из уравнений
магнитостатики (34.5), (34.6):
divB→ = 0.
Его общее решение можно записать в виде
где A→ — произвольная
векторная функция координат; легко проверить, что для произвольного вектора
A→ выполняется
тождество divrotA→ = 0.
Вектор A→
называют векторным потенциалом. Он определен с
точностью до градиента произвольной скалярной функции
χ. Действительно, при
замене A→ →A→ + ∇χ магнитное
поле не изменяется: B→ →B→ + rot∇χ = B→,
так как ротор градиента произвольной функции тождественно равен
нулю.
Столь существенную неоднозначность определения векторного
потенциала устраняют при помощи так называемой калибровки.
Калибровку, или, иными словами, способ устранения неоднозначности
выбирают из соображений удобства. В данном параграфе нам будет удобно
выбрать калибровку
divA→ = 0.
Это всегда можно сделать. В самом деле, если бы мы имели
divA→≠0, то можно было бы
взять иной вектор A→′ = A→ + ∇χ и
выбрать функцию χ
так, что Δχ = −divA→;
известно, что решение последнего уравнения существует всегда. Тогда
divA→′ = A→ + div∇χ = A→ + Δχ = 0.
Получим уравнение, которому должен удовлетворять векторный потенциал. Для
этого подставим B→ = rotA→
в первое из уравнений магнитостатики (34.5), (34.6) и единственное, которое
пока мы не использовали:
rotrotA = 4π
c j→
Двойной ротор в левой части уравнения преобразуем, используя известную
формулу векторного анализа
rotrotA = −ΔA→ + ∇divA→.
При выбранной калибровке divA→ = 0
второе слагаемое справа обращается нуль (в этом и состоит ее удобство в
данном случае). В результате получаем уравнение |
∇divA→ = −4π
c j→,B→ = rotA→.
| (36.2) |
для векторного потенциала A→,
которое называют основным уравнением магнитостатики.
Используя аналогию с уравнением Пауссона (??) и его общим решением
(?? ), нетрудно догадаться, что общее решение уравнения (36.2) можно
записать следующим образом: |
A→ = 1
c ∫ j→(r→′
)dV ′
∣r→ −r→′∣ .
| (36.3) |
Через векторный потенциал можно выразить поток магнитного поля
Записав инвариантное определение ротора (34.1) для вектора
A→,
∮
A→dl→ = ∫
rotA→dS→ = ∫
B→dS→,
преобразуем интеграл в правой части (36.4) к контурному:
Существенно, что эта запись верна при любой калибровке векторного
потенциала, так как для произвольной скалярной функции
χ
соответствующий интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
∮
∇χdl→ = ∮
dχ.
▸Задача 36.1
Записать векторный потенциал однородного магнитного поля
B→0.
Решение: To be done yet…
|