§4 Важнейшие формулы и теоремы векторного анализа

Для получения практически важных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается полезным следующее интегральное представление для оператора Гамильтона:

Смысл этой записи состоит в том, что три основные дифференциальные операции grad, div и rot могут быть представлены в таком виде:

Здесь V  — бесконечно малый объем, содержащий точку г, в которой вычисляются gradϕ, diva и rota; S — замкнутая поверхность, окружающая V ; dS→ — ее элемент; n→ — единичный вектор внешней нормали к S; limS→0 означает, что поверхность S стягивается к точке r→.

Формулы (4.2) проясняют смысл обозначений (∇a→) и [∇a→]. В связи с представлением ∇ оператор Гамильтона у часто называется оператором объемного дифференцирования.

Задача 12. Убедиться в справедливости представления (4.2), взяв в качестве объема V шар с центром в точке r→.

Задача 13. Пользуясь (), вычислить divr→, rotr→, grad(ar)→, rot[ar]→, gradϕ(r), divA→(r), rotA→(r), где a — постоянный вектор, r ≡∣r→∣.

В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем пользоваться декартовыми координатами, в которых оператор у выглядит особенно просто:

Если объект действия оператора ∇ зафиксирован, то в соответствии с () с ним можно обращаться, как с обычным вектором. В то же время [см. *] он является оператором дифференцирования. В частности, в соответствии с правилом d(AB) = (dA)B + AdB имеем

или, помечая объект действия оператора ∇ жирной точкой (•) внизу, условимся писать

Вычислим, к примеру, div[a→b→]:

С каждым слагаемым, помеченным точкой (•), можно работать уже по правилам векторной алгебры, т. е. 

В результате находим

Аналогично можно доказать и многие другие полезные тождества:

где в последних двух тождествах использовано обозначение (a→∇) ≡ ai ∂i для оператора дифференцирования вдоль вектора a→.

Из представления (4.2) вытекают также и некоторые полезные интегральные теоремы. Для их получения выберем некоторый объем V , окруженный поверхностью S, и разобьем его на достаточно большое число N ячеек. Пусть i-я ячейка имеет объем ΔV i, окруженный поверхностью ΔSi. Тогда, по теореме Лагранжа,³ внутри ΔV i,- найдутся такие точки r→i(1), r→i(2), r→i3, что будут справедливы соотношения:

Произведем теперь суммирование по всем ячейкам и положим N →∞. Тогда в пределе левые части перейдут в интегралы по объему V , а правые части — в интегралы по внешней поверхности S, поскольку интегрирование по внутренним поверхностям ΔSi производится дважды, с противоположными значениями нормали n→. В результате получим следующие интегральные соотношения являющиеся различными вариантами общей теоремы Остроградского:

Наиболее часто используемое соотношение (4.5b) известно как теорема Гаусса-Остроградского.

Теорему Остроградского можно применять и к компонентам тензоров. Подставим, например, в (4.5a) вместо ϕ компоненту тензора Tik. Тогда

Свертка по i и j дает

Если в (4.5a) положить ϕ = uv, то получается широко используемая формула интегрирования по частям:

Задача 14. Получить е помощью (4.5a), (4.5c) следующие теоремы Стокса;

где S — поверхность, натянутая на замкнутый контур C; τ — единичный вектор, касательный к контуру и направленный по правому винту относительно n (т. е.  поверхность S является правоориентированной относительно контура С). Вывести (4.8b) из (4.5b).

Указание: выбрать в качестве объема V бесконечно малый цилиндр.

Задача 15. Вывести из теорем Стокса следующие полезные тождества:

Вектор e→, удовлетворяющий условию rote→ = 0, называется потенциальным или безвихревым. Как следует из (), в этом случае e→ = −∇ϕ, где ϕ — произвольный скаляр (скалярный потенциал). Вектор b→, удовлетворяющий условию divb→ = 0, называется соленоидальным. В этом случае b→ = rota→, где a→ — произвольный вектор (векторный потенциал).

Задача 16. Убедиться, что для уравнений

при произвольных ϕ(x) и c→(x). Найти условия на векторы e→(x) и b→(x), при которых эти решения существуют.

Изучим теперь важнейший для приложений оператор Лапласа Δ ≡ (∇∇). Его особенность состоит в том, что он является инвариантным (скалярным) оператором как в применении к скалярной, так и к векторной функции. В применении к скаляру ϕ(x) он определяется так:

Используя определения div и grad в произвольных координатах, имеем

С другой стороны, ∂kϕ = gki∂iϕ, откуда

где gik — контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые условием gik gkj = δji. Итак,

Задача 17. Записать Δϕ в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

В применении к вектору a→ оператор Δ определяется следующим образом:

Задача 18. Показать, что в декартовых координатах ( Δa→)i = Δai ≡ divgradai, т. е. (4.13) согласуется с (4.11). Найти физические компоненты вектора Δa→ в цилиндрических и сферических координатах.

Задача 19. Используя разложение скалярной функции ϕ в ряд Тейлора

доказать справедливость следующего представления для Δϕ:

В приложениях часто приходится иметь дело с гармоническими функциями. Функция ϕ называется гармонической в области V , если внутри нее она удовлетворяет уравнению Лапласа Δϕ = 0. Важным свойством гармонической в области V функции является то, что она принимает свои наименьшее и наибольшее значения на границе области V (принцип максимума).

Задача 20. Доказать принцип максимума, пользуясь представлением () для Δϕ.

В заключение обратим внимание на важное свойство сферических средних, часто используемое при решении уравнений, содержащих оператор Лапласа. Сферическим средним некоторой функции ϕ(r) называется величина

Задача 21. Показать, что

Замечая, что ϕ(r→) = lima→0⟨ϕ(r→)⟩a, выводим из () еще одно интересное представление для оператора Лапласа: