|
Выразим теперь напряженность электрического поля через потенциал.
Пусть 1 и 2 — две бесконечно близкие точки, расположенные на оси
X, так
что x2 − x1 = dx
(рис. 1.16). 
Рис. 1.16:
Работа при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна
Ex dx. Та же работа равна
ϕ1 − ϕ2 = −dϕ. Приравнивая оба
выражения, получим dϕ = −ex dx.
Аналогичное рассуждение применимо для осей
Y и
Z.
В результате находим все три компоненты вектора
E→: |
E→ = −(∂ϕ
∂x, ∂ϕ
∂y, ∂ϕ
∂z).
| (8.1) |
Так как E→ есть
вектор, то и выражение, стоящее в правой части, есть вектор. Его называют градиентом
скаляра ϕ и
обозначают gradϕ,
или ∇ϕ.
Его можно рассматривать, как произведение дифференциального
оператора
∇ = e→x ∂
∂x + e→y ∂
∂y + e→z ∂
∂z
на скаляр ϕ.
Теперь формулу (8.1) можно записать короче:
Она явно формула показывает несущественность аддитивной постоянной в
определении потенциала: константа просто не влияет на результат
дифференцирования.
Можно дать инвариантное определение градиента, которое будет верно в
произвольной криволинейной системе координат. Градиент функции
ϕ(r→) есть
вектор, направленный в сторону максимального возрастания функции, а
его длина равна производной функции в том же направлении. Чтобы
пояснить смысл такого определения, проведем из произвольной точки
r→
в каком-либо направлении единичный вектор
s→. Проекция вектора
A→ ≡ gradϕна это направление есть
As = s→⋅A→ = s→⋅gradϕ. Но та же величина
равна производной As = ∂ϕ∕∂s
функции ϕ по
направлению s→.
В этом легко убедиться, проведя координатную ось в направлении вектора
s→ и
повторив рассуждения начала параграфа. Таким образом,
∂ϕ
∂s = s→⋅gradϕ.
Производная функции в каком-либо направлении равна проекции
градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная
максимальна, когда это направление совпадает с направлением градиента.
▸Задача 8.1
Вычислить ковариантные и контравариантные компоненты
толя точечного заряда в произвольной криволинейной системе
координат. Выразить физические компоненты толя точечного
заряда в произвольной ортогональной системе координат через
коэффициенты Ламэ.
Решение: Пусть xj —
контравариантные координаты. Ковариантые компоненты
Ej = −∂ϕ∕∂xj вектора
E→ в
этой системе координат находим по формуле
Ej = − ∂
∂xj q
r = q
r2 ∂r
∂xj .
Контравариантные компоненты
Ej
находим по формуле
Ej = gjkE
k ,
гдепо паре повторяющихся индексов подразумевается суммирование.
Напомним, что
gjk = ∂r→
∂xj⋅∂r→
∂xk
есть метрический тензор, через который выражается элемент
длины:
(dr→)2 = g
jkdxj dxk .
Тензор gjk
является обратным к нему:
gjkg
kl = δlj .
В ортогональной системе координат элемент длины выражается
через коэффициенты Ламэ:
(dr→)2 = (h
1 dx1)2 + (h
2 dx2)2 + (h
3 dx3)2 ,
а метрический тензор диагонален:
gjk = h12 0 0
0 h22 0
0 0 h32 .
Обратный ему тензор также диагонален:
gjk = (gjk)−1 = 1∕h12 0 0
0 1∕h22 0
0 0 1∕h32 .
Физические компоненты векторов определены в ортогональной
системе координат, как среднее геометрическое произведения
ковариантных и контравариантных компонент:
Eh1 = E1 E1 = E1∕h1 ,
Eh2 = E2 E2 = E2∕h2 ,
Eh3 = E3 E3 = E3∕h3 .
▸Задача 8.2
Записать толе точечного заряда в сферической и цилиндрической
системах координат.
Решение: В сферической системе координат
(r,θ,α)
с центром в месте нахождения заряда отлична от нуля
только первая ковариантная компонента вектора поля:
E1 = q∕r2, так как
ϕ = q∕r не зависит
от θ и
α. Из всех
коэффициентов Ламэ (h1 = 1,
h2 = r,
h3 = rsinθ)
именно h1
равен 1, поэтому ковариантная, контравариантная
и физическая компоненты все равны друг другу:
E1 = E1 = Er = q∕r2.
В цилиндрической системе координат
(ρ,α,z)
также с центром в месте нахождения заряда имеем:
h1 = 1,
h2 = ρ,
h3 = 1,
r = ρ2 + z2.
Дифференцируя ϕ = q∕r,
вычисляем ковариантные компоненты поля, и затем вновь
приходим к выводу, что соответствующие ковариантная,
контравариантная и физическая компоненты все равны:
Eρ = (q∕r2)(ρ∕r),
Eα = 0,
Ez = (q∕r2)(z∕r).
|