傅里叶级数是由周期函数所确定的一种三角级数，对于周期为$2\pi$的周期函数，傅里叶级数有以下形式： $$ \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos nx +b_n\sin nx), $$ 其中 $a_n,b_n$ 傅里叶系数，可由以下公式推出： $$ a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi }^\pi f(x)\cos nx \,dx, \quad n=0,1,2,\dots $$ $$ b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi }^\pi f(x)\sin nx \,dx, \quad n=1,2,\dots. $$ 将周期为$2\pi$的周期函数展开为傅里叶级数需： 1) 求出傅里叶系数 $a_n$,$b_n$; 2) 将其写成傅里叶级数形式： $\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos nx +b_n\sin nx)$.
对复数形式的傅里叶级数来说，有以下推论和性质: $$ f(x) \sim \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty }c_ke^{ikx}, \quad c_k = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx. $$ 傅里叶级数的部分和记作： $S_n(x) = \sum\limits_{k=-n}^{n }c_ke^{ikx}$. 最根本的问题是求证：部分和的极限是否等于$f(x)$？为什么？ $\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)\stackrel?= f(x)$.
黎曼-勒贝格定理} 如果函数$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的可积函数，则： $$\lim_{p\to +\infty } \int\limits_a^bf(x)e^{ipx}\,dx=0.$$
狄利克雷核指的是以下一族函数： $$ D_n(y) = \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=-n}^{n}e^{iky}. $$ 容易得出以下表达式： $$ D_n(y) = \frac{1}{2\pi}\frac{1-e^{-2iny}}{1-e^{iy}}e^{iny} = \frac{1}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}. $$ 狄利克雷核的一些性质：
狄利克雷核在求傅里叶级数部分和时有很重要的应用 $$ S_n(x) = \int\limits_{-\pi}^\pi f(x - y)D_n(y)\, dy. $$
下面是最主要的一些分解定理之一
设函数$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且分段光滑，此时其傅里叶级数满足：
$$
\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx} = \frac{1}{2}\big(f(x+0) + f(x-0)\big).
$$
帕塞瓦尔恒等式表明，函数$f(x)$在$L_2$空间上的范数与其傅里叶级数有以下关系： $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx. $$