1. Вычислить : $$1 + 5$$
2. Найти максимальное число
3. Выберите правильную параметризацию единичной окружности $|z|=1$ :
$z(t) = e^{it},\qquad t\in[0,2\pi]$;
$z(\varphi) = e^{i\varphi} ,\qquad \varphi\in[0,\pi]$;
$z(t) = \frac{1}{2\pi i}e^t,\qquad t\in[0,2\pi]$;
$z(t) = t,\qquad t\in[0,2\pi]$.
1. Вычислить интеграл по отрезку, соединяющему точки $z_1=0$ и $z_2=2+i$: $$\int\limits_{[z_1,z_2]} \overline{z}\, dz.$$
2. Вычислить интеграл по кривой $\gamma = \{|z|=1\}$: $$\int\limits_{\gamma} z^2\, dz$$
3. Выберите правильную параметризацию единичной окружности $|z|=1$ :
$z(t) = e^{it},\qquad t\in[0,2\pi]$;
$z(\varphi) = e^{i\varphi} ,\qquad \varphi\in[0,\pi]$;
$z(t) = \frac{1}{2\pi i}e^t,\qquad t\in[0,2\pi]$;
$z(t) = t,\qquad t\in[0,2\pi]$.
1. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл:: $$\oint\limits_{|z+i|=1}\frac{dz}{z^2+1}.$$
2. Выберите верный ответ. Интегральная формула Коши:
$\oint\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\, dz = f(z_0)$;
$\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\, dz = f(z_0)$;
$\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}\, dz = f(z_0)$;;
$\oint\limits_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\, dz = 0$.
1. Отметьте разложение функции $\sin z$ в ряд Тейлора в окрестности точки $z_0=0$.
$z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots $
2. Разложить функцию $f(z) = \cos^2z$ в ряд Тейлора $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nz^n$ с центром в нуле.
3.
Выписать коэффициенты этого ряда
1. Выписать определения коэффициентов ряда Фурье $a_n$, $b_n$ (на интервале $[-\pi,\pi]$).
2. Найти коэффициенты Фурье для функции $\cos^2 x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
3. Выписать определения коэффициентов $c_k$ ряда Фурье в комплексной форме (на интервале $[-\pi,\pi]$).