| 1 | 6 сентября | Комплексные функции | |
| 2 | 13 сентября | Комплексный интеграл | |
| 3 | 20 сентября | Следствия теоремы Коши | |
| 4 | 27 сентября | Ряды аналитических функций | |
| 5 | 4 октября | Ряд Лорана и сингулярности | |
| 6 | 11 октября | Теория вычетов | |
| 7 | 18 октября | Вычисление интегралов - 1 | |
| 8 | 25 октября | Вычисление интегралов - 2 | |
| 9 | 1 ноября | Вычисление интегралов - 3 | |
| 10 | 8 ноября | Преобразование Лапласа | |
| 11 | 15 ноября | Логарифмическая производная. Теорема Руше | |
| 12 | 22 ноября | Конформные отображения | - |
| 13 | 29 ноября | Дробно-линейные функции | - |
| 14 | 6 декабря | $\Gamma$-функции | |
| 15 | 13 декабря | Асимптотические методы. Метод Лапласа | - |
| 16 | 20 декабря | Метод стационарной фазы | - |
В лекции 1 мы напомним свойства комплексных чисел и комплексной плоскости. Затем введём понятия комплексной функции, комплексной производной и определим комплексную экспоненту.
стр. 10 - 24 из [ЛШ].
в этом и этом видео рассказано как вычислить $\sqrt{i}$ и $i^i$. Посмотрите лекцию Михаила Карлова из МФТИ.
Теории достаточно для решения задач 1, 2, 3, 4, 5 из задания 1.
В лекции 2 мы введём понятие комплексного интеграла и
докажем теорему Коши.
В лекции 3 получим следствия из теоремы Коши: бесконечная дифференцируемость голоморфной функции,
теорема о среднем и принцип максимума модуля. Также изучим некоторые свойства гармонических функций и немного задачу Дирихле.
Лекции по математическому анализу, особенно про криволинейный интеграл. Комплексный интеграл в [ЛШ] стр. 43 - 65.
Неспешный рассказ про интегрирование от профессора Опойцева. Посмотрите лекцию 3 Михаила Карлова из МФТИ.
Теории достаточно для решения задачи 6 из задания 1.
В лекции 4 мы кратко напомним про функциональные ряды и приступим к изучению ряду Тейлора. В лекции 5 познакомимся с рядом Лорана и опишем изолированные особые точки аналитических функций. Докажем теорему Сахоцкого о поведении функции вблизи существенно особой точки. Изображения комплексных функций c помощью sagemath.
Лекции по матанализу А. П. Ульянова стр. 3 - 20. Или книга [ЛШ] стр. 68 - 83.
Про $\zeta$-функцию YouTube.
Теории достаточно для решения задач 7, 8, 9 из задания 1.
В лекции 6 - определение и свойства вычетов в изолированных особых точках. В лекции 7 вычисляем тригонометрические интегралы, выводим формулу решения для стационарного уравнения теплопроводности. В лекции 8 вычисляем интегралы типа преобразования Фурье и интегралы от рациональных функций. В лекции 9 - вычисление интегралов со степенными и логарифмическими весами. В лекции 10 - исследуются свойства преобразования Лапласа с точки зрения комплексного анализа. В лекции 11 докажем теорему Руше.
Читать [ЛШ] стр. 84 - 86.
Можно посмотреть YouTube.
Теории достаточно для решения задач 1-10 из задания 2.
[ЛШ] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.
Методы теории функций комплексного переменного.
М.: Наука, 1987.(Шифр библиотеки НГУ - В16 Л135.)