|
Осенний семестр |
|
Лекция 1: |
Часть 1.
Организационные вопросы. Общий план лекций.
Часть 2.
Общематематические понятия. Логическая
символика. Кванторы. Высказывания (начало). |
|
Лекция 2: |
Часть 1.
Высказывания (продолжение). Вещественные
числа.
Часть 2.
Аксиома полноты. Принцип вложенных отрезков.
Точные границы. Наибольший элемент.
Существование точных границ. |
|
Лекция 3: |
Часть 1.
Расширенная числовая прямая. Критерий точной
верхней границы
Часть 2.
Предел последовательности. Сходящиеся
последовательности. Последовательности,
стремящиеся к бесконечности. Предел и
неравенства. |
|
Лекция 4: |
Часть 1.
Теорема о зажатой последовательности. Предел
и ограниченность. Предел и арифметические
операции (начало).
Часть 2.
Предел и арифметические операции (продолжение).
Подпоследовательности и частичные пределы.
Теорема о пределе подпоследовательности.
Теорема Больцано - Вейерштрасса (начало). |
|
Лекция 5: |
Часть 1.
Теорема Больцано -
Вейерштрасса (продолжение). Теорема
Вейерщтрасса о монотонной
последовательности.
Часть 2.
Фундаментальные
последовательности. Критерий Коши. |
|
Лекция 6: |
Часть 1.
Фундаментальные последовательности. Пример
последовательности, которая расходится.
Предельные точки. Определение предела
функции (начало).
Часть 2.
Определение предела функции
(продолжение). Точка сгущения. Определение
предела в точке сгущения. Примеры. |
|
Лекция 7: |
Часть 1
Окрестности и проколотые
окрестности. Определение предельной точки и
предела на языке окрестностей.
Эквивалентность определений предела по Гейне
и по Коши. Предельный переход в неравенстве.
Предел и алгебраические операции. Критерий
Коши (начало).
Часть 2.
Критерий Коши (продолжение).
Предел композиции. Элементарные функции.
Существование предела последовательности (1+x/n)^n
(начало). |
| Лекция 8: |
Часть 1.
Существование предела
последовательности (1+x/n)^n
(продолжение). Показательная функция и ее
свойства. Число e.
Натуральный логарифм.
Часть 2.
Свойства натурального логарифма. Степенная
функция и ее свойства. Замечательные
пределы. |
|
Лекция 9: |
Часть 1.
Сравнения о-малое и О-большое.
Преобразование выражений с о-малыми и
О-большими. Сравнение степенной,
показательной и логарифмической функций
(начало).
Часть 2.
Сравнение степенной, показательной и
логарифмической функций (продолжение).
Главная часть функции. Определение
непрерывной функции. |
|
Лекция 10: |
Часть 1.
Классификация разрывов. Непрерывность суммы,
разности, произведения, отношения,
композиции. Определение непрерывной функции
на множестве. Теорема Больцано - Коши о
промежуточных значениях.
Часть 2.
Теорема Вейерштрасса о наибольшем и
наименьшем значениях. Определение
производной функции. Физический и
геометрический смысл производной. |
|
Лекция 11: |
Часть 1.
Определение дифференциала. Геометрическая
интерпретация дифференциала. Связь
производной и дифференциала.
Часть 2.
Дифференцирование и алгебраические операции.
Производная композиции. |
|
Лекция 12: |
Часть 1.
Производная обратной функции. Производные
элементарных функций. Локальный экстремум.
Определение внутренней точки. Теорема Ферма
о необходимых условиях экстремума.
Часть 2.
Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечном
приращении. Теорема Коши о конечном
приращении. Определение старших производных.
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа
(начало). |
|
Лекция 13: |
Часть 1.
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа
(продолжение). Формула Тейлора с остатком в
форме Пеано
Часть 2.
Формула Тейлора и ряд Тейлора. Примеры. |
|
Лекция 14: |
Часть 1.
Формула Тейлора для основных элементарных
функций. Достаточное условие локального
экстремума (начало).
Часть 2.
Достаточное условие локального экстремума
(продолжение). Критерий монотонности.
Выпуклые функции. |
|
Лекция 15: |
Часть 1.
Критерий выпуклости. Примеры.
Часть 2.
Асимптоты. Правила Бернулли - Лопиталя. |
|
Лекция 16: |
Часть 1.
Первообразная. Теорема о множестве
первообразных. Теорема о линейности
первообразной. Интегрирование по частям для
первообразной. Замена и подстановка для
первообразной (начало).
Часть 2.
Замена и подстановка для первообразной
(продолжение). Примеры. Определение
рациональной функции. Первообразная
рациональной функции (начало). |
|
Лекция 17: |
Часть 1.
Первообразная рациональной функции
(продолжение). Примеры и приложения.
Часть 2.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными. Пример. Линейные
дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами (начало). |
|
Лекция 18: |
Часть 1.
Линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами (продолжение).
Примеры.
Часть 2.
Определение разбиения. Определение интеграла
Римана. Геометрическая интерпретация
интеграла. Суммы Дарбу. Критерий Дарбу.
Необходимое условие интегрируемости.
Линейность и аддитивность интеграла.
Интегрируемость непрерывной и монотонной
функции. |
|
Лекция 19: |
Часть 1.
Монотонность интеграла. Первая теорема о
среднем. Связь интеграла и первообразной.
Часть 2.
Формула Ньютона - Лейбница. Формула Тейлора
с интегральным остаточным членом.
Определение несобственного интеграла для
бесконечной и конечной точки. |
|
Лекция 20: |
Часть 1.
Определение абсолютной и условной
сходимости. Критерий Коши для несобственного
интеграла. Теореме о сходимости абсолютно
сходящегося интеграла. Теорема об
интегрировании основных особенностей.
Мажорантный признак и теорема сравнения
(начало).
Часть 2.
Мажорантный признак и теорема сравнения
(продолжение). Признаки Абеля и Дирихле
(начало). |
|
Лекция 21: |
Часть 1.
Признаки Абеля и Дирихле (продолжение).
Примеры.
Часть 2.
Сходимость в смысле главного значения.
Определение Г-функции и В-функции и их
основные свойства (начало). |
|
Лекция 22: |
Часть 1.
Основные свойства Г-функции и В-функции
(продолжение). Интеграл Эйлера - Пуассона.
Приложения интеграла. Площадь подграфика.
Часть 2.
Приложения интеграла (продолжение). Объем тел вращения. |
|
Лекция 23: |
Часть 1.
Длина кривой. Длина графика функции.
Часть 2.
Числовые ряды. Определение ряда, частичных
сумм, сходимости ряда. Критерий Коши.
Необходимое условие сходимости ряда.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Мажорантный признак и теорема сравнения для
рядов. |
|
Лекция 24: |
Часть 1.
Интегральный признак сходимости. Сходимость
эталонных рядов. Гармонический ряд. Признак
Коши сходимости ряда.
Часть 2.
Признак Даламбера сходимости ряда. Примеры.
Признаки Абеля и Дирихле (начало). |
|
Лекция 25: |
Часть 1.
Признаки Абеля и Дирихле (продолжение).
Признак Лейбница. Пример. Определение
пространства Rn.
Определение метрики и метрического
пространства.
Часть 2.
Определение нормы и нормированного
пространства. Основные нормы и метрики.
Теорема о сравнении основных норм. Открытые
и замкнутые шары. |
|
Лекция 26: |
Часть 1.
Геометрический смысл аксиом нормы. Теорема
об эквивалентности норм. Неравенства
Коши-Буняковского и Минковского. Предел
последовательности в Rn.
Часть 2.
Определение внутренней, внешней, граничной и
предельной точки. Примеры. Открытые и
замкнутые множества. Примеры. |
|
Лекция 27: |
Часть 1.
Определение ограниченного и компактного
множества. Определение связного множества и
области. Примеры. Определение линейного
отображения. Примеры.
Часть 2.
Матрица линейного отображения. Примеры.
Отображения из Rn
в Rn.
Примеры. |
|
Лекция 28: |
Часть 1.
Определение дифференциала. Определение
частной производной и матрицы Якоби. Теорема
о связи дифференциала и частных производных.
Часть 2.
Пример недифференцируемой функции с частными
производными. Теорема о дифференцировании и
алгебраических операциях. |
|
Лекция 29: |
Часть 1.
Теорема о дифференцировании композиции.
Цепное правило. Производная по вектору,
градиент.
Часть 2.
Определение старших производных.
Перестановочность частных производных.
Определение пространства Сk(Ω). |
|
Лекция 30: |
Часть 1.
Формула Тейлора. Определение второго
дифференциала и матрицы Гессе. Определение
градиента. Геометрический смысл градиента.
Часть 2.
Определение локального экстремума.
Определение критической точки. Необходимое
условие локального экстремума. Достаточное
условие локального экстремума. Квадратичные
формы в R2. |
|
Лекция 31: |
Часть 1.
Квадратичные формы (продолжение). Метод
наименьших квадратов.
Часть 2.
Метод наименьших квадратов (продолжение).
Ответы на вопросы. |