|
Произвольное векторное поле E→(r→)
характеризуется тремя скалярными функциями
Ej(r→), где
j пробегает
значения x,
y,
z
(если говорить о декартовой системе координат). Поэтому одного
уравнения (6.2), вообще говоря, недостаточно, чтобы найти
электрическое поле. Однако электростатическое поле потенциально. Это
накладывает столь сильное ограничение, что все три компоненты
E→ можно
выразить через одну скалярную функцию — электрические потенциал
ϕ.
Подставляя
E→ = −gradϕ.
в уравнение
divE→ = 4πρ
получаем уравнение Пуассона
где дифференциальный оператор Δ = divgrad
называется оператором Лапласа, или лапласианом. Уравнение Пауссона
играет столь важную роль в электростатике, что его часто называют
основным уравнением электростатики. В декартовой системе координат
оно записывается следующим образом: |
∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = −4πρ.
| (10.2) |
В произвольной криволинейной системе координат для вычисления оператора
Δ
необходимо исходить из инвариантных определений дивергенции и
градиента (см. 6 и 8).
Уравнение Пуассона относится к классу дифференциальных уравнений в
частных производных. Иногда специальным выбором системы координат
его удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Это
случается, если в такой специальной системе координат плотность заряда и
потенциал зависят от одной координаты. Один пример такого рода
рассмотрен далее в качестве задачи.
▸Задача 10.1
Непосредственной подстановкой убедиться, что потенциал точечного
заряда ϕ = q∕r
удовлетворяет уравнению Пуассона везде, кроме точки
r = 0.
▸Задача 10.2
Записать оператор Лапласа в произвольной ортогональной
системе координат, выразив результат через коэффициента
Ламэ.
Ответ:
Δϕ = 1
h1h2h3[ ∂
∂x1(h2h3
h1 ∂ϕ
∂x1)+ ∂
∂x2(h1h3
h2 ∂ϕ
∂x2)+ ∂
∂x3(h1h2
h3 ∂ϕ
∂x3)].
▸Задача 10.3
Записать оператор Лапласа в сферической системе координат.
Ответ:
Δϕ = 1
r2 ∂
∂r(r2∂ϕ
∂r ) + 1
r2 sinθ ∂
∂θ(sinθ∂ϕ
∂θ ) + 1
r2 sin2θ ∂2ϕ
∂α2 .
▸Задача 10.4
Записать оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
Ответ:
Δϕ = 1
r ∂
∂r(r∂ϕ
∂r ) + 1
r2 ∂2ϕ
∂α2 + ∂2ϕ
∂z2 .
▸Задача 10.5
Найти скалярный потенциал и электрическое поле
сферически симметричного распределения заряда
ρ = ρ(r).
Ответ:
ϕ(r) = 4π
r ∫
0rρ(r′)r′2 dr′ + 4π ∫
r∞ρ(r′)r′dr′;
E→(r) = 4πr→
r3 ∫
0rρ(r′)r′2 dr′.
|