20 Плотность тока

§20 Плотность тока

1. Под электрическим током понимается любое упорядоченное движение электрических зарядов, происходящее под действием электрического поля. Обычно движение зарядов происходит в некоторой среде, которая при этом называется проводником, а сами заряды называются носителями тока. В случае металлов носителями тока являются свободные электроны, а в электролитах и ионизованных газах —положительные и отрицательные ионы, а также электроны.

2. Электрический ток характеризуется объемной плотностью тока j→. Для ее определения рассмотрим количество зарядов, переносимых носителями через элементарную площадку dS за единицу времени. Для простоты вначале предположим, что носителями тока являются заряженные частицы одного сорта. Пусть в окрестности точки r→ концентрация носителей N1∕см3, а распределение по скоростям характеризуется функцией распределения f(v→). При этом частицы, обладающие скоростью v→ и разбросом скорости dv→, за время dt через площадку dS переносят заряд

q N f (v \to) (v \to \cdot n \to) d S d v \to d t

(см. рис. 43), где q —заряд носителя тока, n→ —единичная нормаль к площадке, а суммарный заряд, переносимый всеми частицами за единицу времени, т. е. ток через площадку dS, будет равен

d I = q N \int v \to f (v \to) d v \to \cdot n \to d S .

Эту величину можно представить в виде

dI = (j→ ⋅n→)dS = jndS,

(20.1)

где вектор j→, связанный с вектором средней скорости зарядов u→ = ∫ v→f(v→) = N−1 ∑ i=1Nv→ i

соотношением

j→ = q ∑ i=1Nv→ i = qNu→,

(20.2)

и есть рассматриваемая объемная плотность тока. Из (1) видно, что объемная плотность тока по величине равна току, протекающему через единичную площадку, перпендикулярную вектору j→, а размерность j связана с размерностью q соотношением [j] = [q]см−2с−1(в абсолютной системе).

Если в создании тока участвуют несколько типов заряженных частиц, то учитывается вклад каждого сорта и тогда

j→ = ∑ iqiNiu→i.

Если рассматривается некоторый конечный объем V , ограниченный замкнутой поверхностью S, то суммарный заряд, выносимый из объема V через границу за единицу времени, равен

I = ∮ SjndS(полный ток через поверхность S);

(20.3)

здесь n→ - внешняя нормаль к поверхности S.

3. Наряду с объемно распределенными токами, характеризующимися объемной плотностью j→, часто встречаются ситуации, когда ток можно считать поверхностным и характеризовать поверхностной плотностью i → . Ток, бегущий по слою малой (по сравнению с другими размерами) толщины δ можно считать поверхностным, если интересоваться только внешними проявлениями этого тока в пространстве вне слоя на расстояниях, существенно превышающих толщину слоя (например, магнитным полем от этого тока). При этом истинным распределением плотности тока j→ по толщине слоя можно не интересоваться, толщину слоя не принимать во внимание и рассматривать слой в виде математической поверхности, по которой бежит ток с поверхностной плотностью i → . Вектор i → в каждой точке поверхности лежит в касательной плоскости и равен произведению усредненной по толщине слоя объемной плотности тока ⟨j→⟩ и толщины слоя δ, т. е.

i→ = ⟨j→⟩δ.

(20.4)

Если теперь на поверхности взять произвольный отрезок Δℓ и провести к нему нормаль n→, лежащий в касательной плоскости, то ток, протекающий через этот отрезок,

ΔI = (i→ ⋅n→)Δℓ = inΔℓ

(20.5)

фактически будет совпадать с током, протекающим через элементарное сечение ΔS = Δℓδ реального токового слоя под отрезком Δℓ, т. к. на основании (3.4) inΔℓ = ⟨jn⟩δΔℓ = ⟨jn⟩ΔS.

Задача 3.1. Равномерно заряженный с объемной плотностью ρ диэлектрический цилиндр радиуса R и высотой h вращается с угловой скоростью ω относительно оси симметрии. Найти распределение объемной плотности тока j→ в пределах цилиндра.

В цилиндрической системе координат (r,α,z), привязанной к рассматриваемому цилиндру, искомая плотность тока

j→ = jαe→α

по условию задачи не имеет составляющих jr и jz. Для определения jα рассмотрим элементарную площадку drdz, перпендикулярную орту e→α (рис. 44) и заметим, что ток через эту площадку равен dI = ρωrdrdz. На основании (3.1) отсюда имеем jα = ρωr и, следовательно,

j→ = ρωre→αв областиr ≤ R,∣z∣≤ h∕2.

Следует обратить внимание, что хотя цилиндр заряжен вплоть до внешней поверхности, поверхностные токи здесь не возникают.

Задача 3.2. Предположим, что цилиндр дополнительно заряжен по поверхности. Пусть ∑ h = const, ∑ R = const — поверхностные плотности зарядов на торцах и на цилиндрической поверхности. Найти поверхностные токи.

Для определения поверхностной плотности на торцах цилиндра рассмотрим радиальный отрезок dr, лежащий на торце и заметим, что через этот отрезок за 1 с переносится заряд, равный заряду кольцевой полости длины v = ωr (на рис. 44 заштрихована). Следовательно, ток через отрезок dI = ∑ hωrdr и в соответствии с (3.5) iα = ∑ hωr (на торцах ∣z∣ = h∕2). Аналогично из рассмотрения отрезка dz, расположенного вдоль образующей цилиндра, находим iα = ∑ RωR на поверхности цилиндра.

[next] [front] [up]