21 Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности

§21 Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности

Напомним, что все электрические заряды, встречающиеся в природе, являются по абсолютному значению кратными элементарному заряду, равному заряду электрона, причем этот элементарный заряд является постоянным и не зависит от скорости частицы, которая несет этот заряд. Простейшим доказательством независимости величины заряда от его скорости является факт электронейтральности атомов, в которых заряд быстродвижущихся электронов полностью компенсирует заряд ядра. Заряд любого тела также является величиной, инвариантной относительно переходов из одной инерциальной системы в другую, и это утверждение составляет один аспект закона сохранения зарядов.

С другой стороны, как показывает вся совокупность опытных фактов, ни каких физических процессах суммарное количество зарядов не изменяется. Отсюда, конечно, не следует, что сохраняются в отдельности положительные и отрицательные заряды системы; например, в процессе аннигиляции электрон — позитронной пары число положительных и отрицательных зарядов уменьшается, но при этом суммарное количество зарядов остается неизменным. Постоянство суммарного заряда в физическом процессе представляет собой вторую сторону закона сохранения заряда.

Таким образом, из закона сохранения заряда следует, что полный заряд системы может изменяться только за счет пересечения ее границы заряженными частицами. Это утверждение математически может быть представлено в виде соотношения между макроскопическими величинами ρ (плотность заряда) и j→ (плотность тока), характеризующими процесс протекания тока. Для этого в пространстве, занятом током, мысленно выделим некоторый объем V , ограниченный замкнутой поверхностью S. Суммарное количество заряда, ежесекундно уходящее из объема V через поверхность S, определяется интегралом (3.3). Обусловленная этим скорость изменения суммарного заряда в объеме V равна

−∂ ∂t ∫ ρdV = ∫ (−∂ρ ∂t )dV.

Приравнивая эти две величины, получаем соотношение

∂ ∂t ∫ ρdV = −∮ SjndS,

(21.1)

являющееся интегральным представлением закона сохранения заряда. Выражая входящий сюда поверхностный интеграл с помощью теоремы Остроградского — Гаусса, результат можно переписать в виде ∫ V (∂ρ ∂t + divj→)dV = 0.

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольного объема V , подинтегральное выражение тождественно должно равняться нулю, т. е.

∂ρ ∂t + divj→ = 0.

(21.2)

Полученное уравнение называется уравнением непрерывности. Это есть дифференциальное представление закона сохранения заряда.

Если рассматривается стационарный процесс, при котором токи и заряды не меняются со временем, уравнения (3.6), (3.7) принимают вид

∮ SjndS = 0,

(21.3)

divj→ = 0.

(21.4)

Последнее уравнение является одним из основных уравнений для постоянного тока.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]