Комплексные числа 2017

Комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел $$ \mathbb C = \{(x,y) : x,y\in\mathbb R \}, \quad z=x+iy, $$ где $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$). Действительная часть $\operatorname{Re} z = x$, мнимая часть $\operatorname{Im} z = y$.

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ равны ( $z_1=z_2$ ) тогда и только тогда, когда совпадают вещественные и мнимые части, то есть \begin{equation*} z_1=z_2 \qquad \Leftrightarrow \qquad \operatorname{Re} z_1 = \operatorname{Re} z_2 \quad\text{ и }\quad \operatorname{Im} z_1 = \operatorname{Im} z_2 \end{equation*}

Арифметика комплексных чисел

Сумма комплексных чисел $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ определяется следующим образом: \begin{equation*} z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + i(y_1+y_2), \end{equation*}

Аналогично определена разность: \begin{equation*} z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + i(y_1-y_2). \end{equation*}

Произведение комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ задаётся равенством \begin{equation*}\label{fr:prod} z_1\cdot z_2 = (x_1x_2-y_1y_2) + (x_1y_2+y_1x_2)i. \end{equation*}

Частным от деления комплексного числа $z_1$ на комплексное число $z_2\ne0$ называется такое комплексное число $w=\dfrac{z_1}{z_2}$, которое при умножении на $z_2$ даёт $z_1$. Можно показать, что частное двух комплексных чисел вычисляется по правилу \begin{equation*}\label{fr:frac} \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i. \end{equation*}

Свойства