Комплексную экспоненту определяют в виде суммы степенного ряда:
\begin{equation*}
e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!},
\end{equation*}
или как предел последовательности:
\begin{equation*}
e^z = \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.
\end{equation*}
Формула Эйлера
\begin{equation*}
e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi
\end{equation*}
Имеем
$$\frac{2i}{x^2+1}=\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}.$$
Интегрируя обе части равенства получим
$$2i\arctan{x}+c=\ln\frac{x-i}{x+i}.$$
Заменим $x=\tan(y/2)$ и запишем в равенство показательной форме
$$c_1e^{iy}=\frac{\sin(y/2)-i\cos(y/2)}{\sin(y/2)+i\cos(y/2)}.$$
Умножим числитель и знаменатель правой части на $\sin(y/2)-i\cos(y/2)$ и преобразуем
$$\frac{\sin(y/2)-i\cos(y/2)}{\sin(y/2)+i\cos(y/2)}
=\frac{(\sin(y/2)-i\cos(y/2))^2}{\sin(y/2)^2+\cos(y/2)^2}=(\sin(y/2)-i\cos(y/2))^2=-\cos y-i\sin y.
$$
Подставляя $y=0$, находим $c_1=-1$, поэтому
$$e^{iy}=\cos y+i\sin y.$$
sourse