Комплексная экспонента и формула Эйлера

Комплексную экспоненту определяют в виде суммы степенного ряда: \begin{equation*} e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}, \end{equation*} или как предел последовательности: \begin{equation*} e^z = \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n. \end{equation*}


Формула Эйлера \begin{equation*} e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \end{equation*}

Имеем $$\frac{2i}{x^2+1}=\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}.$$ Интегрируя обе части равенства получим $$2i\arctan{x}+c=\ln\frac{x-i}{x+i}.$$ Заменим $x=\tan(y/2)$ и запишем в равенство показательной форме $$c_1e^{iy}=\frac{\sin(y/2)-i\cos(y/2)}{\sin(y/2)+i\cos(y/2)}.$$ Умножим числитель и знаменатель правой части на $\sin(y/2)-i\cos(y/2)$ и преобразуем $$\frac{\sin(y/2)-i\cos(y/2)}{\sin(y/2)+i\cos(y/2)} =\frac{(\sin(y/2)-i\cos(y/2))^2}{\sin(y/2)^2+\cos(y/2)^2}=(\sin(y/2)-i\cos(y/2))^2=-\cos y-i\sin y. $$ Подставляя $y=0$, находим $c_1=-1$, поэтому $$e^{iy}=\cos y+i\sin y.$$ sourse