Последовательность комплексных чисел

Последовательность комплексных чисел --- это закон (или правило), по которому каждому натуральному числу соответствует определённое комплексное число. Рассмотрим, например, последовательность $w_n=(1-i)^n$.

Последовательность

Комплексное число $a$ называется пределом последовательности комплексных чисел $\{z_n\}$, если для любого числа $\varepsilon>0$ найдётся такой номер $N=N(\varepsilon)$, что для всех $n>N$ выполняется неравенство \begin{equation*} |z_n-a|<\varepsilon. \end{equation*}

Предел последовательность

Иногда предела не существует. Например $$ \lim\limits_{n\to\infty}z^n = \begin{cases} 0 & \text{ при } |z|<1,\\ \text{не существует} & \text{ при } |z|=1, z\ne1,\\ 1 & \text{ при } z=1,\\ \infty & \text{ при } |z|>1. \end{cases} $$

Свойства предела. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}z_n = a, \quad \lim\limits_{n\to\infty}w_n = b$. Тогда

  1. $\lim\limits_{n\to\infty}(z_n+w_n) = a + b$;
  2. $\lim\limits_{n\to\infty}(z_n\cdot w_n) = a\cdot b$;
  3. если $b\ne 0$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{z_n}{w_n} = \dfrac{a}{b}$.