Последовательность частичных сумм $\{s_n\}$ ряда $\sum a_n$: \begin{equation*} \begin{aligned} & s_1=a_1, \\ & s_2=a_1+a_2, \\ & s_3=a_1+a_2+a_3,\\ &\cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots \\ & s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n. \end{aligned} \end{equation*}
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм $\lim\limits_{n\to\infty}s_n = S \text{ и } |S|<\infty$, то говорят, что ряд $\sum a_n$ сходится и сумма ряда равна $S$ \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S. \end{equation*} Ели предела частичных сумм не существует или предел равен бесконечности, то говорят что ряд расходится.
Например, ряд \begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots \end{equation*} рассходится.
Рассмотрим ряд \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{i}{n(n+1)}. \end{equation*} Запишем частичные суммы: \begin{equation*} \begin{aligned} & s_1=\frac{i}{2}, \\ & s_2=\frac{i}{2} + \frac{i}{2\cdot3} = \frac{2}{3}i, \\ & s_3=\frac{i}{2} + \frac{i}{2\cdot3} + \frac{i}{3\cdot4}=\frac{3}{4}i,\\ & s_4=\frac{i}{2} + \frac{i}{2\cdot3} + \frac{i}{3\cdot4} + \frac{i}{4\cdot5}=\frac{4}{5}i,\\ &\cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots \\ & s_n=\cdots \cdots = \frac{n}{n+1}i. \end{aligned} \end{equation*} Далее имеем $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}i = i$. Таким образом, мы показали, что ряд сходится, и нашли сумму ряда: \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{i}{n(n+1)} = i. \end{equation*}