Преобразование Фурье является эффективным инструментов для решения уравнений в частных производных. Решим следующую задачу о распространении тепла в бесконечно длинном стержне: $$ \begin{cases} \sigma u_{t}(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0;\\ u(x,0) = u_0(x). \end{cases} $$ Подействуем преобразованием Фурье $\mathcal F$ $$ \begin{cases} \hat u'_t(\xi, t) = -\frac{k}{\sigma}\xi^2\hat u(\xi,t);\\ \hat u(\xi,0) = \hat u_0(\xi). \end{cases} $$ Эту задачу легко решить $$ \hat u(\xi,t) = \hat u_0(\xi)e^{-\frac{k}{\sigma}\xi^2 t}. $$ Чтобы найти $u(x,t)$ применим обратное преобразование Фурье $\mathcal F^{-1}$. $$ u(x,t) = \mathcal F^{-1}(e^{-\frac{k}{\sigma}\xi^2 t}\cdot \hat u_0(\xi)) = \frac{\sqrt{\sigma}}{\sqrt{4\pi kt}} e^{-\frac{\sigma x^2}{4kt}} * u_0(x). $$ Итак, $$ u(x,t) = \frac{\sqrt{\sigma}}{\sqrt{4\pi kt}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\sigma y^2}{4kt}}u_0(x-y)\, dy. $$