Комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел $$ \mathbb C = \{(x,y) : x,y\in\mathbb R \}, \quad z=x+iy, $$ где $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$). Действительная часть $\operatorname{Re} z = x$, мнимая часть $\operatorname{Im} z = y$.
Множество $\mathbb C$ снабжено операцией сложения $$ z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + i(y_1+y_2) $$ и операцией умножения $$ z_1\cdot z_2 = (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_1y_2 + y_1x_2). $$ Для каждого числа $z\in\mathbb C$ существует противоположное по сложению число $-z$ такое, что $z+(-z) = 0$. Для каждого числа $z\ne 0$ существует обратное по умножению число $\dfrac{1}{z}$ такое, что $z\cdot\dfrac{1}{z} = 1$. Имеет место формула $$ \frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}. $$ Модуль числа $z=x+iy$ определяется как $ |z| = \sqrt{x^2+y^2}. $ Число $\bar{z} = x-iy$ называется сопряжённым числом.