Пусть $\gamma$ - кривая на плоскости, тогда комплексный интеграл можно определить равенством $$ \int\limits_{\gamma} f(z)\, dz = \int\limits_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt. $$
Для всякой непрерывной на кривой $\gamma$ и функции $f$ выполнено неравенство $$ \Bigl| \int\limits_{\gamma} f(z) \,dz \Bigr| \le \max\limits_{z\in\gamma}|f(z)|\cdot l(\gamma). $$
Теорема Коши. Пусть $\Omega\subset\mathbb C$ — ограниченная односвязная область с кусочно-гладкой ориентированной границей $\gamma$, функция $f$ является аналитической в области $\Omega$ и непрерывной в замыкании $\overline{\Omega}$. Тогда $$\int\limits_{\gamma} f(z) \, dz = 0. $$
Интегральная формула Коши. Пусть $\Omega$ — ограниченная конечносвязная область с ориентированной в положительном направлении кусочно-гладкой границей $\gamma$, функция $f$ является аналитической в области $\Omega$ и непрерывной в $\overline{\Omega}$. Тогда для произвольной точки $z\in \Omega$ $$f(z)=\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\gamma} \frac{f(w) d\,w}{w-z}.$$