Применим преобразование Лапласа для решения следующей задачи: $x'' - 3x' + 2x = 5e^{3t}$, $x(0)=0$, $x'(0)=0$.
Обозначим $\mathcal L\{x(t)\} = X(p)$, и подействуем на обе части уравнения преобразованием Лапласа. Получим $$ p^2X(p)- 3pX(p) + 2X(p) = \frac{2}{p-3}. $$ Откуда $X(p)=\frac{5}{(p-1)(p-2)(p-3)}$ или $$ X(p) = \frac{1}{p-1} - \frac{2}{p-2} + \frac{1}{p-3}. $$ Восстанавливая оригинал, находим решение задачи $$ x(t) = e^{t} - 2e^{2t} + e^{3t}. $$