В этой части мы займёмся вопросом, при каких условиях функция $f(x)$ совпадает со своим рядом Фурье. Рассмотрим частичную сумму ряда Фурье функции $f(x)$ $$ S_n(x) = \sum\limits_{k=-n}^{n}c_ke^{ikx}. $$ Мы докажем, что частичная сумма ряда Фурье может быть представлена как свёртка с ядром Дирихле $$ S_n(x) = (D_n*f)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-y)D_n(y)\,dy, $$ где $D_n(y) = \dfrac{1}{2\pi}\dfrac{\sin(n+\frac{1}{2})y}{\sin \frac{1}{2}y}$.
Ядро Дирихле, $n=20$.