Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция. Рассмотрим дифференциальное уравнение \begin{equation}\label{equation:diff-eq1} y' + \alpha y = f(x) \end{equation} и зададимся вопросом: как найти периодическое решение $y(x)$? Предположим, что такое решение существует. Запишем ряды Фурье для правой части $f(x)$ и неизвестной функции $y(x)$: $$ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{ikx}, \qquad y(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}y_ke^{ikx}. $$ Подставим эти разложения в \eqref{equation:diff-eq1}: $$ \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}iky_ke^{ikx} + \alpha\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}y_ke^{ikx} = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{ikx}, $$ откуда получаем, что $ iky_k + \alpha y_k = f_k, $ и, следовательно, $$y_k = \frac{f_k}{ik + \alpha} \quad (\text{ если } \alpha\ne ik).$$ Тогда периодическим решением \eqref{equation:diff-eq1} является $$ y(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\frac{f_k}{ik + \alpha}e^{ikx}. $$