Пусть $f(z)$ — функция, аналитическая в области $\Omega$, за исключением конечного числа полюсов,
$\gamma\subset\Omega$ — замкнутая, кусочно-гладкая кривая без самопересечений и не проходящая через
полюса функции $f$. Введём следующие обозначения:
$N(f,\gamma)$ — число нулей функции $f$ внутри $\gamma$,
$P(f,\gamma)$ — число полюсов функции $f$ внутри $\gamma$.
Теорема. Пусть функция $f$ и кривая $\gamma$ удовлетворяют описанным выше условиям. Тогда $ \displaystyle{\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = N(f,\gamma) - P(f,\gamma)}. $
Теорема Руше. Пусть $f$ и $g$ — голоморфные функции, $\gamma$ — замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений и ${|f(z)|>|g(z)|}$ для всех $z\in\gamma$. Тогда $$ N(f+g, \gamma) = N(f,\gamma). $$