В основном теория вычетов применяется для вычисления интегралов.
Рассмотрим интеграл $$I\, = \, \int\limits_{0}^{2\pi} R(\sin \varphi, \cos \varphi)\, d\varphi,$$ где $R(\xi, \eta)$ — рациональная функция, не имеющая полюсов на окружности ${\xi}^2 + {\eta}^2 =1.$ Сделаем замену переменной $z=e^{i \varphi},$ тогда $$ d\varphi= - i\, \frac{dz}{z}, \ \ \sin \varphi= \frac{1}{2 i}\left(z - \frac{1}{z} \right),\ \ \cos \varphi = \frac{1}{2 }\left(z + \frac{1}{z} \right).$$ Следовательно, $$ I\, = - i \, \int\limits_{|z|=1} R\left(\ \frac{1}{2 i}\left(z - \frac{1}{z} \right), \ \frac{1}{2 }\left(z + \frac{1}{z} \right)\right)\, \frac{dz}{z}=$$ $$ = \int\limits_{|z|=1} R_1(z)dz = 2\pi i \sum\limits_{|z_k|<1} \Res\limits_{z= z_k} R_1(z).$$ Здесь $R_1(z)$ — это некоторая рациональная функция комплексного переменного, которая определяется через исходную рациональнцю функцию $R(\xi,\eta)$ очевидным образом.