Вычислим интеграл $$I_n= \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{|z-z_0|=R} (z-z_0)^n\, dz,$$ считая, что $n\in\mathbb Z$, а окружность $|z-z_0|=R$ ориентирована против хода часовой стрелки. Воспользовавшись параметризацией окружности $$z=z_0+ Re^{i\varphi}, \ \ \ dz= iRe^{i\varphi} d\varphi, \ \ \ 0\le \varphi \le 2\pi,$$ преобразуем интеграл к виду $$I_n=\frac{1}{2\pi } R^{n+1} \int\limits_0^{2\pi} e^{i\varphi (n+1)} \,d\varphi.$$ При $n=-1$ получаем $$I_{-1}=\frac{1}{2\pi } \int\limits_0^{2\pi} \,d\varphi = 1.$$ При $n\ne -1$ получаем $$I_n=\frac{1}{2\pi i (n+1) } R^{n+1} e^{i\varphi (n+1)} \Bigr|_0^{2\pi} = \frac{1}{2\pi i (n+1) } R^{n+1} (e^{i2\pi (n+1)} -1) = 0.$$