Пусть $f(z) = \dfrac{z}{z+9}$. Разложите функцию $f$ в степенной ряд $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kz^k$. Выберите верные утверждения:


Радиус сходимости $R=9$.
$a_3 = \dfrac{1}{9\cdot 3!}$.
$a_0 = 0$.
$a_k\in\mathbb R$ для всех $k=0,1,2\dots$




По формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии: $\dfrac{z}{z+9} = \dfrac{z}{9}\dfrac{1}{1+\frac{z}{9}} = \dfrac{z}{9}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{9^k}z^k= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{9^k}z^k$. Поэтому $a_k=\dfrac{(-1)^{k-1}}{9^k}$, и радиус сходимости $R=9$.