Найдём радиус сходимости. Имеем $\lim\limits_{n\to0}|\frac{1}{\sqrt[n]{n^2}}| = 1$, радиус сходимости $R=1$. Отсюда по формуле Коши--Адамара ряд сходится (абсолютно) при $|z|<1$, а расходится при $|z|>1$.

Исследуем сходимость на границе круга сходимости, т. е. при $|z|=1$. Если $|z|=1$, то $z=e^{i\varphi}$, и ряд на границе круга сходимости имеет вид $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\varphi}}{n^2}. $$ Проверим абсолютную сходимость ряда: $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{e^{in\varphi}}{n^2}\right| = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. $$ Получаем, что ряд сходится абсолютно при всех $\varphi$. Следовательно, ряд сходится абсолютно на границе круга сходимости. В итоге ряд сходится абсолютно при $|z|\leqslant 1$.