Вспомним, что $\cos^2 z = (1+\cos 2z)/2$. Используя разложение $\cos w = 1 -\frac{w^2}{2!} + \cdots$, получаем $$ \cos^2 z = \frac{1}{2}(1+ 1 -\frac{(2z)^2}{2!} + \frac{(2z)^4}{4!} - \cdots) = 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}2^{2n-1}}{(2n)!}. $$
Ответ: $a_0 =1$, $a_6 = \frac{-1}{6!}\approx -0.0444$.