Найти образ верхней полуплоскости при отображении $$ f(z) = \frac{i-z}{i+z}. $$
Найти образ границы $y=0$.
$f(x) = \dfrac{-x +i}{x+i} = \dfrac{1-x^2}{x^2+1} + i\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Можно поверить, что $f(x)$ пробегает единичную окружность при $x\in(-\infty,\infty)$.
Шаг 2.
Оказывается, что $f$ конформно отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг.