Имеем \begin{equation*} \tanh z + \coth z = \frac{\sinh z}{\cosh z} + \frac{\cosh z}{\sinh z} = \frac{\sinh^2z + \cosh^2z}{\cosh z\sinh z} = a. \end{equation*} Применяя формулы для гиперболических функций, получим \begin{equation*} \frac{\cosh2z}{\sinh2z} = \frac{a}{2} \quad \text{ или } \quad \frac{e^{2z} + e^{-2z}}{e^{2z}-e^{-2z}} = \frac{a}{2}. \end{equation*} Обозначим $u=e^{4z}$, тогда уравнение можно переписать в виде \begin{equation*} u+1 = \frac{a}{2}(u-1), \end{equation*} откуда находим $e^{4z} = u = \dfrac{a+2}{a-2}$. Таким образом, \begin{equation*} z = \frac{1}{4}\operatorname{Ln}\frac{a+2}{a-2}. \end{equation*} Комплексный логарифм определён всюду, кроме нуля. Следовательно, уравнение разрешимо для всех $a$, таких что $a\ne\pm2$.