Применяя формулу косинуса суммы и формулы $\cos iz = \cosh z, \sin iz = i\sinh z.$, имеем \begin{equation*} \cos z = \cos(x+iy) = \cos x\cos iy - \sin x\sin iy = \cos x\cosh y -\sin x\cdot i\sinh y. \end{equation*} Таким образом, \begin{equation*} \cos z = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} где $u(x,y) = \cos x\cosh y$ и $v(x,y) = -\sin x\sinh y$.

Вычислим модуль $|\cos z| = \sqrt{u^2+v^2}$: \begin{multline*} |\cos z| = \sqrt{\cos^2x\cdot\cosh^2y + \sin^2x\cdot\sinh^2y} = \\ \sqrt{\cos^2x\cdot\cosh^2y + (1-\cos^2x)\cdot\sinh^2y} = \\ \sqrt{\cos^2x\cdot\cosh^2y + \sinh^2y-\cos^2x\cdot\sinh^2y} =\\ \sqrt{\cos^2x\cdot(\cosh^2y - \sinh^2y)+\sinh^2y} = \sqrt{\cos^2x + \sinh^2y} \end{multline*} Заметим, что также верно $|\cos z| = \sqrt{\cosh^2y - \sin^2x}$.