Имеем $$ f(z) = \frac{1}{z^3(1-z^2)} = \frac{-1}{z^3(z-1)(z+1)}. $$ Тогда $0$ - полюс 3-го порядка, $-1$ и $1$ - полюса первого порядка, а $\infty$ - устранимая особая точка.
Построить гафик:

$$ \Res\limits_{z=-1}f(z) = \lim\limits_{z\to-1}(z+1)\cdot f(z) = \lim\limits_{z\to-1}\frac{-1}{z^3(z-1)} = -\frac12, $$ $$ \Res\limits_{z=1}f(z) = \lim\limits_{z\to1}(z-1)\cdot f(z) = \lim\limits_{z\to1}\frac{-1}{z^3(z+1)} = -\frac12. $$

Найдём вычет в точке $0$. Для этого рассмотрим разложение функции $f(z)$ в ряд Лорана с центром в $0$: $$ f(z) = \frac{1}{z^3}\cdot\frac{1}{1-z^2} = \frac{1}{z^3}\cdot(1 + z^2 + z^4 + \dots) = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + z + \dots. $$ Отсюда имеем $c_{-1} = 1$, и, следовательно, $ \Res\limits_{z=0}f(z) = 1. $

По теореме о сумме вычетов $$\Res\limits_{z=0}f(z) + \Res\limits_{z=-1}f(z) + \Res\limits_{z=1}f(z) + \Res\limits_{z=\infty}f(z) = 0,$$ следовательно, $\Res\limits_{z=\infty}f(z) = 0$.