Имеем $f(z) = \frac{e^z}{\sin z\cos z} = \frac{2e^z}{\sin 2z}$.
Функции $2e^z$ и $\sin 2z$ голоморфны и точка $\pi$ является нулём первого порядка для функции $\sin 2z$ ($\sin 2\pi=0$, $\sin'2\pi\ne0$).
Тогда $$ \Res\limits_{z=\pi}\left(\frac{2e^z}{\sin 2z}\right) = \frac{2e^\pi}{2\cos 2\pi} = e^\pi. $$ Постройте график, чтобы проверить что $\pi$ --- полюс.