Пусть $f(z) = - 4z^n+1$, а $g(z) = e^z$. На единичной окружности $|z|=1$ имеем цепочку неравенств $$ |e^z|=|e^{x}e^{iy}|=e^{x}\leq e^1<3=|-4z^n|-1\leq |-4z^n+1|. $$ То есть $|f(z)|>|g(z)|$. Функция $f(z) = - 4z^n+1$ имеет $n$ нулей в единичном круге (это $\sqrt[n]{1/4}$). Следовательно, по теореме Руше функция $h(z) = f(z) + g(z) = e^z - 4z^n+1$ имеет $n$ нулей в единичном круге.
Ответ: 2017.