Положим $f(z) = \alpha + z$, $g(z) = -e^z$, $\alpha = 5$. Заметим, что $f(z)$ имеет только один ноль: $z=-\alpha$. В качестве замкнутой кривой выберем полуокружность $C_R$ некоторого радиуса $R>\alpha+1$, находящуюся в левой полуплоскости.

Для всех точек $z\in C_R$ имеет место следующая цепочка неравенств $$ |\alpha +z| \geq ||z| - \alpha| = R - \alpha > 1 \geq e^x = |-e^{z}|. $$ Следовательно, $|f(z)|>|g(z)|$ для всех $z\in C_R$, и по теореме Руше $f(z)+g(z)$ имеет столько же нулей, что и $f(z)$ внутри $C_R$. В силу произвольности $R$ уравнение $\alpha + z - e^z=0$ имеет один корень в левой полуплоскости.
Ответ: 1.