Тест № 19. Ряд Фурье

В ответах использовать приближения $\pi \approx 3.141593$, $e = 2.718282$, $\sqrt{2}\approx 1.414214$, $\sqrt{3} \approx 1.732051$.


  1. Пусть $$f(x)=\frac{\sin^4(5x)\cdot(x^2 + 3)}{x^4 + 6x^2 + 7}.$$ Вычислить коэффициенты Фурье

    $b_1 =$

    $b_8 =$

  2. Вычислить предел $$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\pi^2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|t|\cos^2(nt)\,dt $$

  3. Вычислить интеграл $$ \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|e^{2ix}+e^{4ix}+e^{6ix}|^2 \, dx $$




1. Функция $f(x)$ - чётная. Поэтому все коэффициенты $b_k=0$.
Ответ: $b_1=0$, $b_8=0$.

2. Примениь лемму Римана-Лебега: $\lim\limits_{p\to +\infty } \int\limits_a^bf(x)e^{ipx}\,dx=0$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3. Применить равенство Ляпунова: $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx$.
Ответ: 6.