Задача. Ряд Фурье

Разложить функцию $$ \operatorname{sgn} (x) = \begin{cases} -1, &-\pi < x < 0,\\ 1, &0< x< \pi \end{cases} $$ в комплекный ряд Фурье. $$ \operatorname{sgn} (x) = -\frac{\alpha i}{\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(2n+1)x}}{(2n+1)^{\gamma}}. $$ Найти параметры

$\alpha =$

$\gamma =$


Вычислим коэффициенты $$ c_k = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx = \frac{1}{2\pi}\bigg(\frac{1}{ik}-\frac{e^{ik\pi}}{ik}-\frac{e^{-ik\pi}}{ik}+\frac{1}{ik}\bigg) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{1}{ik}-\frac{e^{ik\pi}}{ik}\bigg). $$ Поэтому, если $k = 2n$, то $c_k=0$, и если $k=2n+1$, то $c_k = \frac{2}{i\pi k}$.
Ответ: $\alpha =2$, $\gamma = 1$.