Вычислить преобразование Фурье функции $$ f(x) = \begin{cases} \operatorname{sgn}(x), &\text{ если } |x|<1,\\ 0, &\text{ если } |x|>1. \end{cases} $$

$\hat f(\xi) = \frac{2(1 - \sin\xi)}{\xi}$
$\hat f(\xi) = \frac{2(1 + \cos\xi)}{\xi}$
$\hat f(\xi) = \frac{2(1 + \sin\xi)}{\xi i}$
$\hat f(\xi) = \frac{2(1 - \cos\xi)}{\xi i}$