Cтепень

  1. Пусть $z=(1+i\sqrt{3})^6$. Найти значения с точностью до 0.0001.


    $\operatorname{Re} z = $

    $\operatorname{Im} z = $

    $|z| =$


  2. Пусть $w=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2017}$. Найти значения с точностью до 0.0001.


    $\operatorname{Re} w = $

    $\operatorname{Im} w = $

    $|w| =$


  3. Вычислить: $ u = (1+i\sqrt{3})^{13} + (1-i\sqrt{3})^{13}, \quad v = \dfrac{ (1+i\sqrt{3})^{13} - (1-i\sqrt{3})^{13}}{i}.$
    Найти значения с точностью до 0.0001.


    $u = $

    $ v = $


  1. Представим число $1 +i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме. Получим $1 +i\sqrt{3} = 2\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
    Применяя формулу Муавра $(1 +i\sqrt{3})^6 = 2^64\cdot(\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$.
    Ответ: $\operatorname{Re} z = 64$, $\operatorname{Im} z = 0$, $|z| = 64$.
  2. Используюя формулу Муавра $\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2017} = \cos\left(\frac{2017\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{2017\pi}{3}\right)$.
    Ответ: $\operatorname{Re} z = \frac{1}{2}$, $\operatorname{Im} = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.8660$, $|w| = 1$.
  3. Ответ: $u = 2^{13} = 8192$, $v=2^{13}\cdot\sqrt{3}\approx14188.9602$.