Пусть $n\in\mathbb N$, $z\in\mathbb C$, $|z|=1$ и известно, что $z^{2n}\ne-1$. Доказать, что $\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}$ является действительным числом.
Шаг 1.
Поскольку $|z|=1$, то $$ z = \cos\varphi + i\sin\varphi, $$ a по формуле Муавра $$ z^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi \quad\text{ и }\quad z^{2n} = \cos 2n\varphi + i\sin 2n\varphi. $$
Шаг 2.
Используя формулы $$ 1 + \cos2\varphi = 2\cos^2\varphi \quad \text{и} \quad \sin2\varphi = 2\sin\varphi\cdot\cos\varphi, $$ имеем \begin{multline*} 1+z^{2n} = 1 + \cos 2n\varphi + i\sin 2n\varphi =\\ 2\cos^2n\varphi + i2\sin n\varphi\cos n\varphi = 2\cos n\varphi(\cos n\varphi + i\sin n\varphi). \end{multline*}
Шаг 3.
Тогда $$ \frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{\cos n\varphi + i\sin n\varphi}{2\cos n\varphi(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)} = \frac{1}{2\cos n\varphi}. $$