Тест: Формула Муавра

Напомним формулу Муавра: $(\cos\varphi+i\sin\varphi)^k = \cos k\varphi+i\sin k\varphi.$ Используя эту формулу решить задачи.

  1. Вычислить $w = (1+i)^4$. Найти значения $\operatorname{Re} w$ и $\operatorname{Im} w$ с точностью до 0.0001.


    $\operatorname{Re} w = $

    $\operatorname{Im} w = $

  2. Используя формулу Муавра вывести формулу для $\cos3\varphi$. $$ \cos3\varphi = a\cos^b\varphi + c\cos\varphi\sin^d\varphi. $$ Найти значения с точностью до 0.0001.


    $a = $

    $b = $

    $c = $

    $d = $

  1. Имеем $1+i = \sqrt(2)(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$. Поэтому $(1+i)^4 = (\sqrt{2})^4(\cos \pi + i\sin\pi)$.
    Ответ: $\operatorname{Re} w = -4$, $\operatorname{Im} w = 0$.
  2. Запишем формулу Муавра в частном случае ($k=3$): $ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^3 = \cos 3\varphi+i\sin 3\varphi. $
    Распишем левую часть: \begin{multline*} (\cos\varphi+i\sin\varphi)^3 = \cos^3\varphi + 3i\cos^2\varphi\sin\varphi -3\cos\varphi\sin^2\varphi - i\sin^3\varphi = \cos^3\varphi -3\cos\varphi\sin^2\varphi + i(3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi). \end{multline*} Таким образом, $ \cos^3\varphi -3\cos\varphi\sin^2\varphi + i(3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi) = \cos 3\varphi+i\sin 3\varphi.$
    Приравнивая действительные и мнимые части, имеем \begin{equation*} \begin{aligned} & \sin3\varphi = 3\cos^2\varphi\sin\varphi - \sin^3\varphi,\\ & \cos3\varphi = \cos^3\varphi -3\cos\varphi\sin^2\varphi. \end{aligned} \end{equation*}