Найти решение задачи: $x'' - 3x' + 2x = 5e^{3t}$, $x(0)=0$, $x'(0)=0$.
Шаг 1. Подействовать преобразованием Лапласа на обе части уравнения.
Обозначим $\mathcal L\{x(t)\} = X(p)$, и подействуем на обе части уравнения преобразованием Лапласа. Получим $$ p^2X(p)- 3pX(p) + 2X(p) = \frac{2}{p-3}. $$
Шаг 2. Найти $X(p)$.
$$ X(p) = \frac{1}{p-1} - \frac{2}{p-2} + \frac{1}{p-3}. $$
Шаг 3. Подействавать обратным преобразованием Лапласа.
Восстанавливая оригинал, находим решение задачи $$ x(t) = e^{t} - 2e^{2t} + e^{3t}. $$