Вкладки содержат лекции и задачи на каждую неделю. Оценки за контрольные и экзамен находятся на странице для студентов.
Неделя 1. 27 февраля - 5 марта
В лекции 1 мы определим систему комплексных чисел и арифметические операции. Изучим геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Введём полярные координаты и тригонометрическую форму. Получим важные формуры Эйлера и Муавра. Будет полезно прорешать задачи.
Преобразованиям комплексной плоскости посвящена лекция 2. Чтобы лучше усвоить материал рекомендуем задачи.
Лекция 3. Простейшие свойства элементарных функций: экспонента, синус, косинус, синус гиперболический и косинус гиперболический. Аналитические функции. Комплексная производная. Свойства производных. Условия Коши — Римана.
$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \qquad \dfrac{\partial u}{\partial y} = - \dfrac{\partial v}{\partial x}.$
Прорешайте задачи.
Контрольная работа №1 в конце недели.
Неделя 2. 6 марта - 12 марта
Лекция 4. Определим комплексный интеграл, докажем теорему Коши и интегральную формулу Коши. Будет полезно прорешать задачи.
В лекции 5 изучим интегральное представление для производных.
Прорешайте задачи по теме комплексный итеграл.
Контрольная работа №2 в конце недели.
Неделя 3. 13 марта - 19 марта
Лекция 6. Повторим понятие сходимости и равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Степенные ряды, формула Коши — Адамара. Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана.
Прорешайте задачи.
Лекция 8 - изолированные особые точкки. В лекции 9 введём понятие вычета в изолированной особой точке и докажем основную теорему теории вычетов. Лекция 10 посвящена вычислению интегралов с помощью вычетов. В лекции 11 мы обсудим дальнейшие приложения вычетов.
Прорешайте задачи.
Контрольная работа №3 в конце недели.
Неделя 4. 20 марта - 26 марта
Лекция 12. Изображения и оригиналы. Преобразование Лапласа от производной. Теорема смещения. Теорема запаздывания для преобразования Лапласа. Вычисление изображений и оригиналов.
$\mathcal L(f(t))=\int\limits_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\, dt.$
Лекция 13 Дифференцирование изображения. Интегрирование изображения. Обратно преобразование Лапласа. Вычисление интегралов с помощью преобразования Лапласа. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений.
Прорешайте задачи.
Лекция 14 Постановка задачи о разложении $2\pi$- периодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. В лекции 15 мы исследуем сходимость ряда Фурье. Лекция 16 при ложения к решению уравнений в частных производных.
Прорешайте задачи.
Лекция 17. Прямое и обратное Преобразование Фурье от производной. Теорема свёртки для преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье (линейность, сдвиг по фазе, сдвиг по аргументу). Примеры вычисления преобразований.
$\hat f(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i x\xi}\, dx.$
Лекция 18 Решение дифференциальные уравнения: поиск периодических решений, уравнения в частных производных.
Прорешайте задачи.
Контрольная работа №4 в конце недели.
Экзамен 30 марта.