Решим задачу для общего случая $H_{lm}$-волны.
Тип отраженной и прошедшей волны можно установить на основе следующих соображений.
Падающая волна представляет собой суперпозицию плоских волн с частотой $\omega$ и волновыми векторами
с компонентами $k_{0z}$, $k_{0x}=\pm \frac{l\pi}{a}$ и $k_{0y}=\pm \frac{m\pi}{b}$. При отражении и преломлении
каждой плоской волны сохраняются частота и тангенциальные компоненты волнового вектора. Поскольку решения
для отраженной и прошедшей волн являются результатом суперпозиции соответствующих плоских волн, то
параметры $k_{x}$, $k_{y}$ и $\omega$ войдут
в результирующие решения без изменений. С другой стороны
решения для отраженной и прошедшей волн должны удовлетворять волновому уравнению с граничными условиями на стенках
волновода. Для прямоугольного волновода это могут быть только волны типа $E_{lm}$ или $H_{lm}$, причем,
индексы $l, m$
однозначно задаются геометрическими размерами $a,\; b$ и значениями $k_x,\; k_y$, которые, как уже было отмечено,
не изменяются при отражении и прохождении волны. $E_{lm}$-волна исключается, так как ее появление сделает
невозможным одновременное выполнение условий непрерывности нормальных компонент $D_n$ и $B_n$ на границе раздела
двух сред.
Таким образом, и отраженная и прошедшая волна имеют тип $H_{lm}$ с теми же индексами и частотой, что и падающая.
С учетом изложенных соображений выпишем выражения для всех компонент полей в падающей ''0'', отраженной ''1'' и
прошедшей ''2''
волнах:*
$$
\begin{array}{l}
H_{0z}(x,y,z,t)=H_0\cos(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{0x}(x,y,z,t)=\frac{i}{\varkappa^2}k_{0z}\frac{\partial H_{0z}}{\partial x}=
-\frac{ik_{0z}k_x}{\varkappa^2} H_0\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{0y}(x,y,z,t)=\frac{i}{\varkappa^2}k_{0z}\frac{\partial H_{0z}}{\partial y}=
-\frac{ik_{0z}k_y}{\varkappa^2} H_0\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{0x}(x,y,z,t)=\frac{i}{\varkappa^2}\frac{\mu_0 \omega}{c}\frac{\partial H_{0z}}{\partial y}=
-\frac{i k_y \mu_0\omega}{\varkappa^2 c} H_0\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{0y}(x,y,z,t)=-\frac{i}{\varkappa^2}\frac{\mu_0 \omega}{c}\frac{\partial H_{0z}}{\partial x}=
\frac{i k_x \mu_0\omega}{\varkappa^2 c} H_0\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}\\\\\\
E_{0z}(x,y,z,t)=0\\\\\\
H_{1z}(x,y,z,t)=H_1\cos(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{1x}(x,y,z,t)=\frac{ik_{0z}k_x}{\varkappa^2} H_1\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
H_{1y}(x,y,z,t)=\frac{ik_{0z}k_y}{\varkappa^2} H_1\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\\\
E_{1x}(x,y,z,t)=-\frac{i k_y \mu_0\omega}{\varkappa^2 c} H_1\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\
E_{1y}(x,y,z,t)=\frac{i k_x \mu_0\omega}{\varkappa^2 c} H_1\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(-k_{0z}z-\omega t)}\\\\\\
E_{1z}(x,y,z,t)=0\\\\\\
H_{2z}(x,y,z,t)=H_2\cos(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
H_{2x}(x,y,z,t)=-\frac{ik_{2z}k_x}{\varkappa^2} H_2\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
H_{2y}(x,y,z,t)=-\frac{ik_{2z}k_y}{\varkappa^2} H_2\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
E_{2x}(x,y,z,t)=-\frac{i k_y \mu_2\omega}{\varkappa^2 c} H_2\cos(k_x x)\sin(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
E_{2y}(x,y,z,t)=\frac{i k_x \mu_2\omega}{\varkappa^2 c} H_2\sin(k_x x)\cos(k_y y){\e}^{i(k_{2z}z-\omega t)}\\\\
E_{2z}(x,y,z,t)=0,
\end{array}
$$
где обозначены $k_x$=$\frac{\pi l}{a},\; k_y$=$\frac{\pi m}{b},
\; \varkappa^2$=$k_x^2+k_y^2$; $l$=$0,1,2,..., m$=$0,1,2,...$, исключая комбинацию $\{l,m\}=\{0,0\}$.
Тогда гран. условия $E_{0x}+E_{1x}$=$E_{2x},\; H_{0x}+H_{1x}$=$H_{2x}$ на границе раздела $z$=$0$ после подстановки
выписанных
выражений и сокращений на общие множители (а также с учетом $\mu_0$=$\mu_1$=$\mu_2$=$1$) принимают вид:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
k_{0z}H_0-k_{0z}H_1=k_{2z}H_2\\
H_0+H_1=H_2
\end{array}
\right.
$$
с решением
$$
\frac{H_1}{H_0}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha},
$$
где обозначено $\alpha=
\frac{k_{2z}}{k_{0z}}=\frac{\sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}n^2-k_x^2-k_y^2}}{\sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}-k_x^2-k_y^2}}$.
$\hspace{4mm}\frac{H_1}{H_0}<0,$ т. е. фаза волны при отражении терпит скачок на $\pi$.
В случае $l=m=1$ $\;\; \alpha=\sqrt{
\frac
{
\frac{\omega^2}{c^2}n^2-\left(\frac{\pi}{a}\right)^2-\left(\frac{\pi}{b}\right)^2
}
{
\frac{\omega^2}{c^2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^2-\left(\frac{\pi}{b}\right)^2
}
}$.
* Если записать падающую волну как $\propto {\e}^{i(\omega t - k_{0z}z)}$
(вместо ${\e}^{i(k_{0z}z-\omega t)}$), то во всех
последующих формулах следует заменить $k_{z}$ на $-k_{z}$ и $\omega$ на $-\omega$. |