Вектор-потенциал магнитного поля в кулоновской калибровке: $$ \vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{c}\iiint \frac{\vec{j}(\vec{r}\;')}{R}dV', $$ где $dV'$ – элемент объема, в котором протекает ток с плотностью $\vec{j}(\vec{r}\;')$, $R=|\vec{r}-\vec{r}\;'|$. Тогда магнитное поле в точке $\vec{r}$ равно $$ \vec{B}(\vec{r})=\rot \vec{A}=\frac{1}{c}\iiint \nabla \frac{1}{R}\times \vec{j} dV'+ \frac{1}{c}\iiint \frac{dV'}{R} \rot\vec{j} $$ Второе слагаемое равно нулю, поскольку оператор $\rot$ предполагает дифференцирование по нештрихованным переменным (по координатам точки наблюдения), а $\vec{j}$ зависит от штрихованных переменных $x'$, $y'$, $z'$. Первое слагаемое с учетом $\nabla \frac{1}{R}=-\frac{\vec{r}-\vec{r}\;'}{{|\vec{r}-\vec{r}\;'|}^3}$ равно $$ \vec{B}(\vec{r})=\frac{1}{c}\iiint \frac{\vec{j}(\vec{r}\;') \times (\vec{r}-\vec{r}\;')}{R^3} dV', $$ что представляет собой закон Био-Савара. В том случае, когда ток сосредоточен в линейном проводнике, закон Бир-Савара принимает вид $$ \vec{B}(\vec{r})=\frac{I}{c}\oint \frac{\vec{d\ell'} \times (\vec{r}-\vec{r}\;')}{R^3}. $$ Закон Био-Савара позволяет по распределению токов в пространстве определять наводимое этими токами магнитное поле.

Сила $\vec{F}$, действующая на элемент $\vec{d\ell}$ с током $I$ в постоянном магнитном поле $\vec{B}$, выражается законом Ампера: $$ \vec{F}=\frac{I}{c} \left[\vec{d\ell} \times \vec{B}\right]. $$ Из законов Био-Савара и Ампера следует, что сила со стороны элемента с током $I_1$ на элемент с током $I_2$ равна $$ d\vec{F}_{12}=\frac{I_1 I_2}{c^2 R^3} \vec{d\ell}_2 \times \left[\vec{d\ell}_1 \times (\vec{r}_2-\vec{r}_1)\right]. $$ Несложно убедиться, что в общем случае $d\vec{F}_{12} \neq -d\vec{F}_{21}$, что вовсе не означает нарушения третьего закона Ньютона. Дело в том, что последний формулируется для двух взаимодействующих тел, взятых целиком, а не для элементов этих тел. Если же в качестве $\vec{F}_{ik}$ рассматривать силу со стороны одного контура с током на другой контур с током, то в результате интегрирования $d\vec{F}_{ik}$ по обоим контурам всегда получится, что $$ \vec{F}_{ik}=-\vec{F}_{ki}. $$