Пусть задана система $N$ замкнутых контуров с токами $I_i,\,\,1\leqslant i\leqslant N$. Отдельный контур с током создает в пространстве магнитное поле $\vec{B}_j(\vec{r})$. Поток поля через произвольную поверхность, стягиваемую $i$-м контуром, можно выразить в виде линейной комбинации $$ \Phi_i=\sum\limits_{j=1}^{N} \frac{L_{ij}I_j}{c}, $$ где $L_{ij}$ – коэффициенты взаимоиндукции контуров $i$ и $j$. При совпадении индексов $L_{ii}$ называются коэффициентами самоиндукции (индуктивностью) $i$-го контура. При неизменной геометрии системы коэффициенты $L_{ij}$ полностью задаются этой геометрией. (Здесь сделаем единственное уточнение, что, вообще говоря, коэффициенты $L_{ij}$ зависят еще и от того, как текут токи по проводникам. Например, в толстом кольце могут течь соленоидальные токи, которые не дают вклада во внешнее поле. Тогда соответствующие коэффициенты взаимоиндукции оказываются равными нулю. Коэффициенты взаимоиндукции могут также отличаться в случаях сильного и слабого скин-эффекта).

Матрица коэффициентов $L_{ij}$ симметрична: $L_{ij}=L_{ji}$. Физически это означает, что если ток $I$, пропускаемый по контуру $i$, создает поток $\Phi$ через контур $j$, то тот же ток, пропущенный по контуру $j$, создаст точно такой же магнитный поток через контур $i$.

В терминах коэффициентов $L_{ij}$ можно выразить энергию магнитного поля, формируемого токами в контурах: $$ W=\frac{L_{ij}I_i I_j}{2c^2}, $$ где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Данная формула позволяет определять индуктивности толстых проводников, в то время как их определение через потоки в этом случае оказывается неоднозначным (см. задачи № 279, № 429).
В общем случае магнитного поля в среде $\vec{B}(\vec{r})$, сформированного произвольно распределенными токами, энергия этого поля равна \begin{equation}\label{induct_eq1} W=\int w dV, \end{equation} где $w=\frac{(\vec{H}\cdot \vec{B})}{8\pi}$ – плотность энергии магнитного поля, и интегрирование производится по всему пространству.
Энергию $W$ можно выразить также через плотность тока $\vec{j}(\vec{r})$. Для этого представим вектор магнитной индукции в \eqref{induct_eq1} в виде $\vec{B}=\rot \vec{A}$: \begin{equation}\label{induct_eq2} W=\frac{1}{8\pi}\int (\vec{H}\cdot \rot \vec{A}) dV. \end{equation} С учетом векторного тождества $\Div [\vec{a}\times \vec{b}] = (\vec{b}\cdot \rot \vec{a}) - (\vec{a}\cdot \rot \vec{b})$ подынтегральное выражение разбивается на два слагаемых: $$ (\vec{H}\cdot \rot \vec{A})= \Div [\vec{A}\times \vec{H}] + (\vec{A}\cdot \rot \vec{H}). $$ Тогда для энергии магнитного поля имеем \begin{equation}\label{induct_eq3} W=\frac{1}{8\pi}\int \Div [\vec{A}\times \vec{H}] dV +\frac{1}{8\pi}\int (\vec{A}\cdot \rot \vec{H}) dV. \end{equation} Первый интеграл по теореме Остроградского-Гаусса преобразуется в поверхностный, второй можно переписать с учетом уравнения Максвелла $\rot \vec{H} = \frac{4\pi}{c}\vec{j}$: \begin{equation}\label{induct_eq4} W=\frac{1}{8\pi}\oiint [\vec{A}\times \vec{H}] d\vec{S} +\frac{1}{2c}\int (\vec{A}\cdot \vec{j}) dV. \end{equation} Областью интегрирования в первом интеграле является сфера, радиус которой стремится к бесконечности. На таких расстояниях ограниченная в пространстве система токов формирует поле магнитного диполя, так что $H\sim \frac{1}{r^3},\,\,\,A\sim \frac{1}{r^2}$. Поэтому первый интеграл имеет порядок не выше $\frac{r^2}{r^5}=\frac{1}{r^3}$ и на бесконечности стремится к нулю. Отсюда \begin{equation}\label{induct_eq5} W=\frac{1}{2c}\int (\vec{A}\cdot \vec{j}) dV. \end{equation} В полученном выражении область интегрирования сводится к объему, в котором протекают токи. Отметим также, что формула \eqref{induct_eq5} применима только к той калибровке векторного потенциала, для которой поток вектора $[\vec{A}\times \vec{H}]$ через сферу бесконечного радиуса обращается в ноль.