Емкостные и потенциальные коэффициенты

Пусть в пространстве имеется $N$ изолированных проводников. Если нанести на $j$-й проводник заряд $q_j$, то это приведет к изменению поля в пространстве и, следовательно, к изменению потенциалов как на самом $j$-м проводнике, так и на всех остальных. В общем случае эта связь имеет линейный вид и может быть записана как $$ \varphi_i=\sum\limits_{j=1}^{N} \alpha_{ij}q_j. $$ Коэффициенты $\alpha_{ij}$ называются потенциальными.

Связь между $q_i$ и $\varphi_j$ можно записать в другом виде: $$ q_i=\sum\limits_{j=1}^{N} C_{ij}\varphi_j. $$ Коэффициенты $C_{ij}$ называются емкостными.

Элементы $C_{ij}$ и $\alpha_{ij}$ образуют матрицы. Можно показать, что матрицы $C$ и $\alpha$ симметричны: $$ C_{ij}=C_{ji},\,\,\, \alpha_{ij}=\alpha_{ji}. $$ Смысл недиагональных элементов $C_{ij}$ легче усвоить на следующем примере. Пусть исходно все проводники не заряжены. Тогда и потенциалы всех проводников равны нулю. Теперь рассмотрим процесс, в котором на $j$-й проводник наносится некоторый заряд, а потенциалы всех других проводников поддерживаются равными нулю $^*$. На $j$-м проводнике установится некоторый потенциал $\varphi_j \neq 0$. Тогда коэффициент $C_{ij}$ определяет заряд $q_i=C_{ij}\varphi_j$, натекший на $i$-й проводник. По сути, это будет заряд-изображение, поэтому все недиагональные $C_{ij}<0$.

Для лучшего понимания смысла коэффициентов $C_{ii}$ рассмотрим процесс, в котором потенциалы всех проводников, кроме $i$-го, поддерживаются равными нулю. Тогда коэффициент $C_{ii}$ определяет заряд $q_i=C_{ii}\varphi_i$, который натечет на $i$-й проводник. Нетрудно понять, что $C_{ii}>0$.

Неверно считать, что коэффициенты $C_{ij}$ зависят только от формы и взаимного расположения $i$-го и $j$-го проводников. На самом деле расположение и форма остальных проводников тоже на них влияют. Лишь когда размеры проводников много меньше расстояний между ними, эффектом зарядов-изображений можно пренебречь и тогда коэффициенты $C_{ij}$ определяются чисто парными взаимодействиями проводников, а диагональные элементы $C_{ii}$ совпадают с собственными емкостями проводников.

Чтобы усвоить смысл коэффициентов $\alpha_{ij}$, нужно рассмотреть процесс, в котором все проводники, кроме $j$-го, не заряжены. Тогда $\varphi_i = \alpha_{ij}q_j$ и $\alpha_{ij}$ определяет потенциал, который установится на $i$-м проводнике, если на $j$-й нанести заряд $q_j\neq 0$. Отсюда нетрудно понять, что все $\alpha_{ij}>0$.

$^*$ Для этого на каждый $i$-й проводник ($i\neq j$) нужно нанести какой-то заряд. Такие же заряды натекут на них, если их соединить заземляющим проводом, а затем убрать заземление.