Полная система уравнений Максвелла \begin{equation}\label{equat1} \begin{array}{l} \Div \vec{D}=4\pi\rho\\ \rot \vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{d\vec{B}}{dt}\\ \rot \vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c}\frac{d\vec{D}}{dt}\\ \Div \vec{B}=0, \end{array} \end{equation} где $\vec{E}$ – напряженность электрического поля,
$\vec{D}$ – электрическая индукция,
$\vec{B}$ – магнитная индукция,
$\vec{H}$ – напряженность магнитного поля,
$\rho$ – объемная плотность свободных зарядов,
$\vec{j}$ – объемная плотность немолекулярных токов (токов проводимости). Объемная плотность характеризует токи в объеме, но ее физический смысл – ток на единицу площади, а не объема. Уточним также, что $\vec{j}$ – вектор, в то время как ток $I=\iint\limits_S (\vec{j}\cdot d\vec{S})$ – скаляр.
Введя векторный потенциал $\vec{A}$ такой, что $\rot\vec{A}=\vec{B}$, из второго уравнения Маквелла получаем $$ \rot\left(\vec{E}+\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt} \right)=0, $$ что позволяет задать скалярный потенциал $\varphi$ такой, что $$ \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt}=-\nabla\varphi\; \; (в\; стационарном\; случае\; \vec{E}=-\nabla\varphi). $$ Условие $\rot\vec{A}=\vec{B}$ задает вектор-потенциал с точностью до слагаемого вида $\nabla f(x,y,z)$, где $f(x,y,z)$ – произвольная скалярная функция пространственных координат. Выбор конкретного слагаемого $\nabla f(x,y,z)$ в выражении для $\vec{A}$ называется калибровкой.

Предположим, что для векторной функции $\vec{A}'(x,y,z)$ выполняется равенство $\Div \vec{A}' = f(x,y,z)\neq 0$. Тогда выбором слагаемого $\vec{A}_1(x,y,z)=\nabla \psi(x,y,z)$, где $\psi(x,y,z)$ является решением уравнения $$ \Delta \psi(x,y,z) = -f(x,y,z), $$ получим вектор-потенциал $$ \vec{A}(x,y,z)=\vec{A}'(x,y,z)+\vec{A}_1(x,y,z), $$ обладающий свойством $\Div \vec{A}=0$ (кулоновская калибровка).

Из уравнений \eqref{equat1} следуют граничные условия на нормальные и тангенциальные компоненты полей: \begin{equation*}\label{equat2} \begin{array}{l} \Delta D_n=4\pi\sigma,\\ \Delta E_{\tau}=0,\\ \Delta H_{\tau}=\frac{4\pi}{c}J,\\ \Delta B_n=0, \end{array} \end{equation*} где $\sigma$ – поверхностная плотность свободных зарядов, $J$ – поверхностная плотность тока проводимости. Поверхностная плотность характеризует токи вдоль поверхности, но ее физический смысл – ток на единицу длины, а не площади. В отличие от объемной плотности $\vec{j}$, записанная здесь поверхностная плотность тока $J$ – скалярная величина. Иногда используют вектор $\vec{i}$ поверхностной плотности тока. Тогда $J=(\vec{i}\cdot \vec{e}_t)$, где $\vec{e}_t=[\vec{e}_n\times\vec{e}_{\tau}]$, а $\vec{e}_n$ – единичный вектор нормали к поверхности границы раздела.
Первые 3 уравнения системы \eqref{equat1} в интегральной форме представляют собой \begin{equation*}\label{equat3} \begin{array}{l} теорему\; Гаусса:\; \oiint\limits_S (\vec{D}\cdot d\vec{S})=4\pi Q,\\ закон\; Фарадея\; \mathcal{E}=\oint\limits_{\mathfrak{L}} (\vec{E}\cdot d\vec{\ell})=-\frac{1}{c}\frac{d\Phi}{dt},\\ и\; теорему\; Стокса\; \oint\limits_{\mathfrak{L}} (\vec{H}\cdot d\vec{\ell})=\frac{4\pi}{c}(I+I_{см}), \end{array} \end{equation*} где $Q$ - полный свободный (он же сторонний) заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности $S$;
$\mathcal{E}$ – ЭДС в контуре $\mathfrak{L}$;
$\Phi=\iint (\vec{B}\cdot d\vec{S})$ – поток вектора $\vec{B}$ через сечение контура $\mathfrak{L}$;
$I$ – полный ток проводимости через сечение контура $\mathfrak{L}$;
$I_{см}=\frac{1}{4\pi}\iint \frac{d\vec{D}}{dt} \vec{dS}$ – ток смещения.
В тех случаях, когда можно легко определить азимутальную компоненту векторного потенциала, поток магнитного поля бывает удобно рассчитывать по формуле $$ \Phi=\oint \limits_{\mathfrak{L}}\vec{A}\cdot d\vec{\ell}, $$ которая в случае аксиальной симметрии дает (см. решение задачи № 99) $$ \Phi=2\pi \rho A_{\alpha},\; E_{\alpha}=-\frac{\partial A_{\alpha}}{c\partial t}, $$ где $\rho$ – радиус кругового контура, через сечение которого проходит поток.