Если область распределения заряда ограничена в пространстве, то потенциал электрического поля как функцию $\vec{r}=(x, y, z)$ можно записать в виде интеграла \begin{equation}\label{MP_eq1} \varphi(\vec{r})=\int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}')dV'}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|} \end{equation} На больших расстояниях множитель $\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}$ в подынтегральном выражении можно разложить по малому параметру $\vec{r}'=(x', y', z')$ (здесь и ниже штрихованные переменные характеризуют распределение заряда, в отличие от нештрихованных, относящихся к радиус-вектору точки наблюдения): \begin{equation}\label{MP_eq2} \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\approx \frac{1}{r}- \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{1}{r}\right)\cdot x'_i+ \frac{\partial^2 }{2\partial x_i \partial x_j}\left(\frac{1}{r}\right) \cdot x'_i x'_j, \end{equation} где предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Подстановка \eqref{MP_eq2} в \eqref{MP_eq1} приводит к выражению для потенциала в форме мультипольного разложения: \begin{equation*}\label{MP_eq3} \varphi(\vec{r})\approx \frac{Q}{r}+ \frac{(\vec{d}\cdot \vec{r})}{r^3}+ \frac{1}{2} D_{ij}\frac{x_i x_j}{r^5} \end{equation*} где $Q=\int \rho(\vec{r}')'dV'$ – полный заряд системы,

$\vec{d}=\int \rho(\vec{r}')\vec{r}'dV'$ – электрический дипольный момент системы,

$D_{ij}=\int (3x'_ix'_j-r'^2\delta_{ij})\rho(\vec{r}')dV'$ – тензор квадрупольных моментов системы.

Если потенциал задан, то электрическое поле находится по общей формуле $\vec{E}=-\nabla \varphi$, которая дает (мультипольный вклад каждого порядка записан в отдельной строке) $$ \begin{array}{l} \vec{E}(\vec{r})\approx \frac{Q}{r^2}\vec{e}_r-\\\\ -\frac{\vec{d}}{r^3} +3\frac{(\vec{d}\cdot \vec{r})\vec{r}}{r^5}-\\\\ - D_{ij}\frac{x_j\vec{e}_i}{r^5} +\frac{5}{2} D_{ij}\frac{x_i x_j \vec{r}}{r^7}. \end{array} $$
В общем случае $\vec{d}$ и $D_{ij}$ зависят от выбора начала отсчета. Если $\vec{r}^{\;*}=\vec{r}+\vec{a}$, то \begin{equation*}\label{MP_eq4} \begin{array}{l} \vec{d}^{\;*}=\vec{d}+Q\vec{a},\\\\ D_{ij}^*=D_{ij}+3\cdot (a_i d_j + a_j d_i) - 2\delta_{ij}\left(\vec{a}\cdot \vec{d}\right) + \left(3a_i a_j - a^2\delta_{ij} \right)Q \end{array} \end{equation*} Если $\vec{a}=a\vec{e}_i$ и $\vec{d}=d\vec{e}_i$, то диагональный $(ii)$-элемент $D^*$ равен: \begin{equation*} D_{(ii)}^*=D_{(ii)}+4 a d + 2a^2 Q \end{equation*} Если система симметрична относительно оси $z$, то в сферических переменных квадрупольный потенциал равен $$ \varphi_{(2)}(\vec{r})=\frac{3\cos^2\theta - 1}{4r^3}D, $$ где $D=D_{zz}=-2D_{xx}=-2D_{yy}.$