Рассмотрим систему ограниченного объема с плотностью тока $\vec{j}(\vec{r}',t)$. Пусть размер системы $a$ и характерное время $\tau$ изменения тока связаны соотношением $a\ll c\tau$. Найдем вектор-потенциал $\vec{A}(\vec{r},t)$ на больших расстояниях от системы токов.

Общее решение для $\vec{A}(\vec{r},t)$ имеет вид запаздывающего потенциала: $$ \vec{A}(\vec{r},t)=\frac{1}{c}\int \frac{\vec{j}(\vec{r}',t-R/c)}{R}dV', $$ где $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'$ и учтено, что сигнал доходит из точки $\vec{r}'$ в точку $\vec{r}$ за время $\frac{R}{c}$.
Из малости параметра $r'/r$ следует \begin{equation}\label{eq1} R\approx r-(\vec{r}'\cdot \vec{n}),\,\,\, \frac{1}{R}\approx \frac{1}{r}+\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{r^2}, \end{equation} где $\vec{n}=\frac{\vec{r}}{r}$.
Тогда $$ t-R/c\approx t-r/c+\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}= t'+\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}, $$ где введено обозначение $t'=t-r/c$.
С учетом заданного условия величина $\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}$ является малым параметром. Поэтому можно разложить $\vec{j}(t)$ вблизи $t'$: $$ \vec{j}\left(\vec{r}',t'+\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}\right) \approx \vec{j}(\vec{r}',t')+ \frac{\partial \vec{j}}{\partial t'}\cdot \frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}. $$ Теперь запишем подынтегральное выражение с учетом $\frac{1}{R}$ из \eqref{eq1}: $$ \frac{\vec{j}}{R} \approx \frac{\vec{j}(\vec{r}',t')}{r}+ \frac{\vec{j}(\vec{r}',t')\cdot (\vec{r}'\cdot \vec{n})}{r^2}+ \frac{\partial \vec{j}}{\partial t'}\cdot \frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{rc}+ \frac{\partial \vec{j}}{\partial t'}\cdot \frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}\cdot\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{r^2}. $$ Последнее слагаемое содержит произведение двух малых параметров, поэтому им можно пренебречь. Тогда искомый вектор-потенциал запишется в виде суммы трех интегралов: $$ \vec{A}(\vec{r},t)\approx \frac{1}{cr}\int \vec{j}(\vec{r}',t')dV'+ \frac{1}{cr^2}\int \vec{j}(\vec{r}',t')\cdot (\vec{r}'\cdot \vec{n}) dV'+ \frac{1}{c^2r}\int \frac{\partial \vec{j}(\vec{r}',t')}{\partial t'}\cdot (\vec{r}'\cdot \vec{n}) dV', $$ В последнем слагаемом $(\vec{r}'\cdot \vec{n})$ не зависит от $t'$, поэтому $\frac{\partial}{\partial t'}$ можно применить ко всему интегралу: \begin{equation}\label{eq2} \vec{A}(\vec{r},t)\approx \frac{1}{cr}\int \vec{j}(\vec{r}',t')dV'+ \frac{1}{cr^2}\int \vec{j}(\vec{r}',t')\cdot (\vec{r}'\cdot \vec{n}) dV'+ \frac{1}{c^2r} \frac{\partial}{\partial t'} \int \vec{j}(\vec{r}',t')\cdot (\vec{r}'\cdot \vec{n}) dV'. \end{equation} Если теперь рассматривать систему как совокупность движущихся точечных зарядов, то каждый интеграл по объему заменится на сумму по частицам. При этом изменится смысл переменной $\vec{r}'$: внутри интеграла она характеризовала неподвижную точку, в которой плотность тока менялась со временем, внутри же суммы $\vec{r}'_i$ задает положение $i$-го точечного заряда и уже зависит от $t'$. О рассмотрении суммы вместо интеграла говорят также как о переходе от эйлеровых координат к лагранжевым. Выполним этот переход отдельно для каждого интеграла. $$ \vec{A}_1(\vec{r},t)= \frac{1}{cr}\int \vec{j}(\vec{r}',t')dV'= \frac{1}{cr}\sum q_i \vec{v}'_i = \frac{1}{cr}\sum q_i \frac{\partial \vec{r}'_i}{\partial t'} = \frac{1}{cr}\frac{\partial }{\partial t'} \sum q_i \vec{r}'_i = \frac{1}{cr}\frac{\partial \vec{d}}{\partial t'} = \frac{\dot{\vec{d}}}{cr}, $$ где $\vec{d}=\sum q_i \vec{r}'_i$ – дипольный момент системы. $$ \vec{A}_2(\vec{r},t)= \frac{1}{cr^2}\int \vec{j}(\vec{r}',t')\cdot (\vec{r}'\cdot \vec{n}) dV'= \frac{1}{cr^2}\sum q_i \vec{v}'_i (\vec{r}'_i\cdot \vec{n}) = \frac{1}{cr^2}\sum q_i \frac{\partial \vec{r}'_i}{\partial t'} (\vec{r}'_i\cdot \vec{n}). $$ Опустим индекс $i$ при $\vec{r}'$ и преобразуем выражение внутри суммы: $$ \frac{\partial \vec{r}'}{\partial t'} (\vec{r}'\cdot \vec{n})= \frac{\partial }{\partial t'} \{ \vec{r}'(\vec{r}'\cdot \vec{n})\}- \vec{r}' \left(\frac{\partial \vec{r}'}{\partial t'}\cdot \vec{n}\right) \Leftrightarrow \vec{v}' (\vec{r}'\cdot \vec{n})= \frac{\partial }{\partial t'} \{ \vec{r}'(\vec{r}'\cdot \vec{n})\}- \vec{r}' (\vec{v}'\cdot \vec{n}). $$ Теперь представим левую часть равенства как $$ \begin{array}{l} \vec{v}' (\vec{r}'\cdot \vec{n})= \frac{1}{2}\vec{v}' (\vec{r}'\cdot \vec{n})+ \frac{\partial }{2\partial t'} \{ \vec{r}'(\vec{r}'\cdot \vec{n})\}- \frac{1}{2}\vec{r}' \left( \vec{v}' \cdot \vec{n}\right)= \frac{1}{2}\vec{v}' (\vec{n} \cdot \vec{r}') -\frac{1}{2}\vec{r}' (\vec{n} \cdot \vec{v}' ) + \frac{\partial }{2\partial t'} \{ \vec{r}'(\vec{r}'\cdot \vec{n})\}=\\\\ =\frac{1}{2}\vec{n} \times \left[ \vec{v}' \times \vec{r}'\right]+ \frac{\partial }{2\partial t'} \{ \vec{r}'(\vec{r}'\cdot \vec{n})\}= \frac{1}{2} \left[\vec{r}' \times \vec{v}' \right]\times \vec{n} + \frac{\partial }{2\partial t'} \{ \vec{r}'(\vec{r}'\cdot \vec{n})\}. \end{array} $$ Подставим полученное выражение в сумму: $$ \vec{A}_2(\vec{r},t)= \frac{1}{2cr^2}\sum q_i \left[\vec{r}'_i \times \vec{v}'_i \right]\times \vec{n} + \frac{\partial }{2cr^2 \partial t'} \sum q_i \{ \vec{r}'_i(\vec{r}'_i\cdot \vec{n})\}. $$ Первое слагаемое представляет собой $\frac{\vec{m}\times \vec{n}}{r^2}$, где $\vec{m}=\frac{1}{2c}\sum q_i \vec{r}'_i \times \vec{v}'_i $ – магнитный дипольный момент системы. Второе слагаемое можно переписать в форме $\frac{\partial \vec{Q}}{2cr^2 \partial t'}$, где $\vec{Q}$ – вектор, компоненты которого в тензорном виде выражаются как $$ Q_{\alpha} = Q_{\alpha \beta} n_{\beta},\,\,\, Q_{\alpha \beta}=\sum\limits_i q_i x_{i \alpha}x_{i \beta}. $$ Итак, $$ \vec{A}_2(\vec{r},t)= \frac{\vec{m}\times \vec{n}}{r^2}+ \frac{\dot{\vec{Q}}}{2cr^2}. $$ Третий член разложения вектор-потенциала, как видно из \eqref{eq2}, равен производной по $t'$ от второго, умноженной на $\frac{r}{c}$: $$ \vec{A}_3(\vec{r},t)= \frac{\dot{\vec{m}}\times \vec{n}}{cr}+ \frac{\ddot{\vec{Q}}}{2c^2 r}. $$ Первый член $\vec{A}_1$ разложения не содержит в качестве множителя никакого малого параметра, поэтому он доминирует над $\vec{A}_2$ и $\vec{A}_3$. Последние же являются членами одного порядка малости * и поэтому оба их нужно включать в выражение для $\vec{A}$. Обычно мультипольное разложение вектор-потенциала записывают в виде $$ \vec{A}(\vec{r},t)\approx \frac{\dot{\vec{d}}}{cr}+ \left( \frac{\vec{m}\times \vec{n}}{r^2}+ \frac{\dot{\vec{m}}\times \vec{n}}{cr} \right)+ \left( \frac{\dot{\vec{Q}}}{2cr^2}+ \frac{\ddot{\vec{Q}}}{2c^2 r} \right). $$ Первый член разложения называют дипольным, второй – магнитно-дипольным, третий – квадрупольным.

* Возможна ситуация, когда один малый параметр меньше другого. Например, на достаточно больших расстояниях $\frac{a}{r}\ll \frac{a}{c \tau} \sim \frac{a}{\lambda}$ и там можно пренебречь членами $\sim \frac{1}{r^2}$.

ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Определим магнитное поле дипольного излучения. Общая формула: $$ \vec{H}(\vec{r},t)=\rot \vec{A}_d (t')=\rot \frac{\dot{\vec{d}}(t')}{cr}, $$ где $t'=t-r/c$, а точка над ''d'' означает дифференцирование по штрихованному времени $t'$.
Используем тождество $$ \rot \left\{ f(\vec{r})\vec{a}(\vec{r})\right\}=\left[\nabla f \times \vec{a} \right]+f\rot \vec{a}, $$ где $f(\vec{r})$ – скалярная, $\vec{a}(\vec{r})$ – векторная функция координат.
В нашем случае $f=\frac{1}{cr}$, $\vec{a}=\dot{\vec{d}}(t-r/c)$: $$ \vec{H}(\vec{r},t)= \left[\nabla \frac{1}{cr} \times \dot{d} \right] + \frac{1}{cr} \rot \dot{d}= -\left[\frac{\vec{n}}{cr^2} \times \dot{d} \right] + \frac{1}{cr} \rot \dot{d}. $$ Для вычисления второго слагаемого применим тождество $$ \rot \vec{a} = \left[ \nabla \xi \times \frac{\partial \vec{a}}{\partial \xi}\right]. $$ Взяв $\xi=t'=t-r/c$ и $\vec{a}=\dot{\vec{d}}(t-r/c)$, получим $\nabla \xi =-\frac{\vec{n}}{c}$, откуда $$ \vec{H}(\vec{r},t)= -\frac{\vec{n} \times \dot{d}}{cr^2} - \frac{\vec{n} \times \ddot{d}}{c^2r}= \frac{\dot{d} \times \vec{n}}{cr^2} + \frac{\ddot{d} \times \vec{n} }{c^2r}. $$ Первое слагаемое квадратично по параметру $\frac{1}{kr}$: $$ \frac{\dot{d} \times \vec{n}}{cr^2} \sim \frac{1}{c\tau r^2} \sim \frac{1}{\lambda r^2} \sim \frac{k}{r^2}=\frac{k^3}{(kr)^2}, $$ второе – линейно: $$ \frac{\ddot{d} \times \vec{n}}{c^2r} \sim \frac{1}{c^2\tau^2 r} \sim \frac{1}{\lambda^2 r} \sim \frac{k^2}{r}=\frac{k^3}{kr}. $$ В зависимости от значения параметра $kr$ (всюду предполагается $r\gg a, \,a\ll\lambda$) различают зоны излучения: $$ \begin{array}{l} Квазистационарная\, зона\, (kr\ll 1\,или \, a\ll r\ll \lambda). \\ Волновая\, зона\, (kr\gg 1\,или \, r\gg \lambda). \end{array} $$ Промежуточную область ($kr\sim 1$ или $a\ll r\sim \lambda$) называют ближней зоной.

Дипольному излучению соответствует первый (после нулевого) член разложения скалярного потенциала **: $$ \phi(\vec{r},t)\approx \frac{Q(t')}{r}+\frac{1}{r}\int\frac{\partial \rho}{\partial t'}\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}dV'. $$ $$ \phi_1(\vec{r},t) = \frac{1}{r}\int\frac{\partial \rho}{\partial t'}\frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}dV'= -\frac{1}{r}\int \Div \vec{j}(\vec{r}') \frac{(\vec{r}'\cdot \vec{n})}{c}dV' = \frac{1}{rc}\int (\vec{j}\cdot \vec{n})dV' = \frac{1}{rc} \vec{n} \cdot \int \vec{j} dV' = (\vec{n}\cdot \vec{A}_1). $$ Электрическое поле дипольного излучения в волновой зоне равно $$ \begin{array}{l} \vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{A}_1}{c \partial t}-\nabla \phi_1(\vec{r},t)= -\frac{\partial \vec{A}_1}{c \partial t'} - \frac{(\vec{n} \cdot \dot{\vec{d}})}{c} \nabla \frac{1}{r} - \frac{(\vec{n} \cdot \ddot{\vec{d}})}{cr} \nabla (t-r/c)\approx -\frac{\dot {\vec{A}}_1}{c} + \frac{\vec{n}}{c}(\vec{n} \cdot \dot{\vec{A}}_1)=\\\\ =\frac{1}{c}\left[\dot{\vec{A}}_1 \times \vec{n}\right] \times \vec{n}= \vec{H}\times \vec{n}. \end{array} $$

** Доказательство тождества $\int \vec{r}' \Div \vec{j} dV' = - \int \vec{j} dV' $ легко проводится для произвольной $\alpha$-компоненты: $$ \begin{array}{l} \iiint x_{\alpha}\frac{\partial j_{\beta}}{\partial x_{\beta}}dV= \iiint x_{\alpha}\frac{\partial j_{\beta}}{\partial x_{\beta}} d x_{\beta} dS_{\beta}= \iiint x_{\alpha} d j_{\beta} dS_{\beta}= \iint\limits_{S} \left(x_{\alpha} j_{\beta}\right) dS_{\beta} -\iint j_{\beta} d x_{\alpha} dS_{\beta}= 0 - \iiint j_{\beta} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x_{\beta}} d x_{\beta} dS_{\beta}=\\\\ = - \iiint j_{\beta} \delta_{\alpha \beta} d x_{\beta} dS_{\beta}= - \iiint j_{\alpha} dV. \end{array} $$ Домножив тождество скалярно на постоянный вектор $\vec{n}$, получим $$ \int \Div \vec{j}(\vec{r}') (\vec{r}'\cdot \vec{n})dV' = -\int (\vec{j}\cdot \vec{n})dV'. $$

ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ВОЛНОВОЙ ЗОНЕ

Электрическое и магнитное поля дипольного излучения в волновой зоне описываются формулами: $$ \vec{H}=\frac{\ddot{\vec{d}}\times \vec{n}}{c^2 r},\,\,\,\, \vec{E}=\vec{H}\times \vec{n}. $$ Мгновенное значение вектора Пойнтинга: $$ \begin{array}{l} \vec{S}(t)=\frac{c}{4\pi}\Re\left\{\vec{E}\right\}\times \Re\left\{\vec{H}\right\}=\frac{c}{4\pi}H^2(t)\vec{n}= \frac{c}{4\pi}\frac{\ddot{d}^2(t')\sin^2\theta(t)}{c^4 r^2}\vec{n}= \frac{\ddot{d}^2(t')\sin^2\theta(t)}{4\pi c^3 r^2}\vec{n}. \end{array} $$ Под $\ddot{d}$ здесь понимается абсолютная величина действительной части вектора $\ddot{\vec{d}}$. Теперь введем несколько новых понятий, характеризующих дипольное излучение в волновой зоне.
''Интенсивность излучения в единицу телесного угла'' (она же ''угловое распределение интенсивности''): $$ \frac{dJ}{d\Omega}=r^2 S=\frac{\ddot{d}^2(t')\sin^2\theta(t)}{4\pi c^3}. $$ Обратим внимание, что по размерности данная величина не интенсивность, а мощность. Поэтому введенный термин здесь заключен в кавычки. Кроме того, настоящая интенсивность – величина, усредненная по времени, угловое же распределение интенсивности может быть как мгновенным, так и средним по времени. Среднее по времени угловое распределение равно $$ \left\langle \frac{dJ}{d\Omega} \right\rangle =\frac{ \langle\ddot{d}^2 \sin^2\theta \rangle}{4\pi c^3}. $$ Мгновенная мощность излучения в полный телесный угол: $$ J(t)=\int \frac{\ddot{d}^2(t')\sin^2\theta}{4\pi c^3}d\Omega= \int \frac{\ddot{d}^2(t')\sin^2\theta}{4\pi c^3}\sin\theta d\theta d\phi = \frac{2\pi\ddot{d}^2(t')}{4\pi c^3}\int\limits_{0}^{\pi} \sin^3\theta d\theta = \frac{2\ddot{d}^2(t')}{3 c^3}. $$ То обстоятельство, что $\theta$ здесь зависит от времени, не влияет на интегрирование по телесному углу.
Средняя по времени мощность излучения в полный телесный угол: $$ \langle J \rangle = \frac{2\langle \ddot{d}^2\rangle }{3 c^3}, $$ где $\langle \ddot{d}^2\rangle$ – усредненный по времени квадрат абсолютной величины вектора $\ddot{\vec{d}}$ (не путать с модулем комплексного числа).