Задача №516 |
| В процессе прохождения одномерного волнового пакета, движущегося вдоль оси $z$
в однородной среде с дисперсией $\omega = \omega_0 + v_g (k-k_0)$, в плоскости $z=0$ был зарегистрирован частотный спектр поля $E(\omega)=a {\e}^{-\left(\frac{\omega-\omega_0}{\Delta \omega}\right)^2}$. Найти электрическое поле пакета $E(z,t)$ в произвольный момент времени. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №507 |
| На плоское зеркало в виде длинной полосы
шириной $d$ под углом $\theta$ к его нормали падает плоская монохроматическая волна с длиной волны $\lambda$. Варьируя размер $d$, найти минимальный
поперечный размер светового пятна на экране, удаленном от центра зеркала на расстояние $l\gg d$ (cм. рисунок). |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №506 |
| На плоское зеркало в виде длинной полосы шириной $d$ падает по вертикали плоская монохроматическая волна с
длиной волны $\lambda$. Нормаль зеркала наклонена под углом $\alpha$ к направлению распространения волны (cм.
рисунок).Варьируя размер $d$, найти минимальный поперечный размер светового пятна на вертикальном экране, удаленном от центра зеркала на расстояние $l\gg d\cos\alpha$, |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №432 |
| Найти спектральную плотность
сигнала, представляющего собой функцию
$$
f(t)=
\begin{array}{ll}
E_0\sin\omega_0 t, & 0<t<T/2\\
0, & T/2<t<T,
\end{array}
$$
повторенную $N$ раз с периодом $T=2\pi/\omega_0$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №431 |
| Найти спектральную плотность энергии
сигнала, представляющего собой функцию
$
f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
E_0, & 0<x<a\\
0, & a<x<d
\end{array}
\right.,
$
повторенную $N$ раз с периодом $d$. Как изменится эта величина при модуляции исходного сигнала экспонентой
$\e^{ik_0 x}$? |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №388 |
| Зная спектральную плотность сигнала $f(k)$, задаваемого функцией $f(x)$ (сплошная линия), найти спектральную плотность $\Phi(k)$ ''симметричного'' сигнала $\Phi(x)$, представленного пунктирной кривой. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №387 |
| Зная спектральную плотность сигнала $f(\omega)$, задаваемого функцией $f(t)$
(сплошная линия), найти спектральную плотность $\Phi(\omega)$, ''симметричного''
сигнала $\Phi(t)$, представленного пунктирной кривой. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №343 |
| Найти фурье-образ $\tilde{F}(k)$ пространственной функции
$F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} f(x-nd)$, где $f(x)$ – одиночный импульс (см. рисунок).
Фурье-образ функции $f(x)$ известен и равен $\tilde{f}(k)$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №342 |
| Найти фурье-образ $\tilde{F}(k)$ пространственной функции
$F(x) = \sum\limits_0^{N-1}(-1)^n f(x-nd)$, где $f(x)$ – одиночный импульс (см. рисунок).
Фурье-образ функции $f(x)$ считать известным и равным $\tilde{f}(k)$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №291 |
| Найти спектральную плотность $f(\omega)$ функции $f(t)$, изображенной
на рисунке. Результат представить в виде $\pm\frac{f_0\tau}{2}\e^{\pm\frac{i\omega \tau}{2}} F(\omega,\omega_0)$,
где $F(\omega,\omega_0)$ – искомая функция. Вычислить ее значения в точках
$\omega=0, \omega=\omega_0$ и $\omega=2\omega_0$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №290 |
| Найти спектральную плотность $f(\omega)$ функции $f(t)$, изображенной
на рисунке. Результат представить в виде $\frac{f_0\tau}{2}\e^{\frac{i\omega \tau}{2}}F(\omega,\omega_0)$,
где $F(\omega,\omega_0)$ – искомая функция. Вычислить ее значения в точках
$\omega=0, \omega=\omega_0$ и $\omega=2\omega_0$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №236 |
| Поле $E(t)$ представляет собой бесконечную последовательность уменьшающихся по амплитуде
прямоугольных импульсов одинаковой протяженности $\tau$ с периодом $T$, показанную на рисунке. Найти
спектральную плотность $E(\omega)$ и квадрат ее модуля $|E(\omega)|^2$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №235 |
| Поле $E(t)$ представляет собой бесконечную последовательность уменьшающихся по амплитуде
прямоугольных импульсов одинаковой протяженности $\tau$ с периодом $T$, показанную на рисунке. Найти
спектральную плотность $E(\omega)$ и квадрат ее модуля $|E(\omega)|^2$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №192 |
| Плоская монохроматическая электромагнитная волна с частотой $\omega_0$, с круговой поляризацией,
распространяющаяся вдоль оси $z$, падает на систему из трех поляроидов. Ось первого поляроида
ориентирована вдоль оси $x$, ось второго поляроида вращается относительно оси $z$ (в плоскости $z=\text{const}$)
с частотой $\Omega\ll \omega_0$,
ось третьего поляроида ориентирована по оси $y$. Расстояние между поляроидами много меньше
длины волны. Найти спектр амплитуды $|E(\omega)|$ прошедшего сигнала. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №188 |
| Сигнал представляет собой наложение двух периодов синусоиды $E(t)=E_0 \sin(\omega_0 t)$, раздвинутых
по времени, как показано на рисунке. (Здесь $\tau=\frac{\pi}{\omega_0}$). Какое количество локальных максимумов
модуля $|E(\omega)|$ приходится на интервал $0$<$\frac{\omega}{\omega_0}$<$2$? |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №187 |
| Сигнал представляет собой наложение двух периодов синусоиды $E(t)=E_0 \sin(\omega_0 t)$, раздвинутых
по времени, как показано на рисунке. (Здесь $\tau=\frac{\pi}{\omega_0}$). Какое количество локальных максимумов
модуля $|E(\omega)|$ приходится на интервал $0$<$\frac{\omega}{\omega_0}$<$2$? |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №172 |
| Известен исторический анекдот о том, что мать Галилея могла различать невооруженным глазом
кольца Сатурна. Оценить минимальный диаметр $d$ ее зрачка. Расстояние $L$ между Землей и Сатурном
1 миллиард км, ширина $w$ наиболее яркого кольца 20 тысяч км, что в период максимального раскрытия
колец совпадает по угловому размеру с величиной темного внутреннего зазора (см. рисунок).
Длину волны света считать равной 0.5 микрометра. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №166 |
| $$
Для\; функции\; f(t)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{h}{\tau}\cdot t,& |t|\leq\tau \\
0,& |t|>\tau,
\end{array}
\right.
$$
представленной на рисунке, определить спектральную плотность $f(\omega)$ и ее модуль |$f(\omega)$|. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №156 |
| $$
Для\; функции\; f(t)=
\left\{
\begin{array}{ll}
h,& -\tau\leqslant t<0\\
-h,& 0\leqslant t \leqslant \tau\\
0,& |t|>\tau,
\end{array}
\right.
$$
представленной на рисунке, определить спектральную плотность $f(\omega)$
и ее модуль |$f(\omega)$|. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №39 |
| Сигнал $E(t)$ зависит от времени следующим образом: $E=0$ при $t<0$; $E=1$ при $0\leqslant t\leqslant\tau$;
$E=-1$ при $2\tau\leqslant t \leqslant 3\tau$; $E=0$ при $t>3\tau$.
Найти модуль спектральной плотности $|E(\omega)|$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №38 |
| Вычислить спектральную плотность функции $E(x)$, состоящей из пяти одинаковых прямоугольных импульсов,
как показано на рисунке. Результат изобразить графически в виде энергетического спектра
$\left|E(k)\right|^2$, отметив его характерные
особенности. Принять $L = 2l$, на оси абсцисс отложить переменную $kl/2$. |
|
|
|
Показать решение
|
|
Задача №36 |
| Для сигнала, заданного функцией $f(t)$ (см. рисунок), найти спектральную
плотность $f_{\omega }$. |
|
|
|
Показать решение
|
|